Question

задани координати вершин трикутника А(-7 ; 6), В( 2 ; -6 ), С( 7 ; 4 ) . Знайти :
1. рівняння сторін АВ і АС трикутника ;
2. довжини сторін АВ і АС трикутника ;
3. кутові коефіцієнти сторін АВ і АС трикутника ;
4. кут трикутника ВАС ;
5. рівняння медіани АЕ трикутника ;
6. довжину медіани АЕ трикутника ;
7. рівняння висоти СD трикутника ;
8. довжину висоти СD трикутника ;

Answer 1

Задани координати вершин трикутника

А(-7 ; 6), В( 2 ; -6 ), С( 7 ; 4 ) .

Знайти

1. рівняння сторін АВ і АС трикутника.

Находим векторы АВ и АС.

AB = (2-(-7); -6-6) = (9; -12).

AC = (7-(-7); 4-6) = (14; -2).

Уравнение АВ: (x + 7)/9 = (y – 6)/(-12) каноническое.

Оно же в общем виде: -12x – 84 = 9y – 54,

12x + 9y + 30 = 0 или 4x + 3y + 10 = 0.

Уравнение АC: (x - 7)/14 = (y – 4)/(-2) каноническое.

Оно же в общем виде: -2x + 14 = 14y – 56,

2x + 14y - 70 = 0 или x + 7y - 35 = 0.

2. довжини сторін АВ і АС трикутника.

AB = √(9² + (-12)²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

AC = √(14² + (-2)²) = √(196 + 4) = √200 = 10√2.

3. кутові коефіцієнти сторін АВ і АС трикутника.

k(AB) = Δy/Δx = -12/9 = -4/3.

k(AC) = Δy/Δx = -2/14 = -1/7.

4. кут трикутника ВАС.

cos A = (9*14 + (-12)*(-2))/(15*10√2) = 150/(150√2) = 1/√2.

Угол равен arccos(1/√2) = 45 градусов.

5. рівняння медіани АЕ трикутника.

Находим координаты точки Е как середину стороны ВС.

Е = (В( 2 ; -6 ) + С( 7 ; 4 ))/2 = (4,5; -1).

Вектор АЕ = (4,5-(-7); -1-6) = (11,5; -7).

Уравнение АЕ: (x + 7)/11,5 = (y – 6)/(-7) каноническое.

Оно же в общем виде: -7x – 49 = 11,5y – 69,

7x + 11,5y - 20 = 0 или 14x + 23y - 40 = 0.

6. довжину медіани АЕ трикутника.

AC = √(11,5² + (-7)²) = √(132,25 + 49) = √181,25 = (5/2)√29.

7. рівняння висоти СD трикутника.

Уравнение стороны AB общего вида Ax + By + C = 0:

4x + 3y + 10 = 0.

У перпендикуляра коэффициенты А и В меняются на B и (-A).

AE: 3x – 4y + C = 0. Подставим вместо переменных координаты точки С: 3*7 – 4*4 + С = 0, отсюда  С = 16 – 21 = -5.

Уравнение СD: 3x – 4y - 5 = 0.

8. довжину висоти СD трикутника ;

h(CD) = 2S/AB.

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 75.

h = 2*75/15 = 10.