Question

Дано координати вершин трикутника АВС A(5; 0), B(8; 4), C(9; 2). Знайти: 1)довжину сторони АВ:

2) рiвняння сторiн AB i BC i їх кутові коефіціенти: 3) внутрiшнiй кут в у радіанах із точністю до 0,01;

4) рiвняння медіани АЕ;

5) рiвнння i довжину висоти CD:

6) рiвняння прямої, яка проходить через точку Е паралельно до АВ, а
також точку М перетину цієї прямої з висотою CD.​

Answer 1

Ответ:

Даны вершины треугольника  $\bf A(5;0)\ ,\ B(8;4)\ ,\ C(9;2)$

1)  длина стороны АВ равна

$AB=\sqrt{(8-5)^2+(4-0)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=\bf 5$   ,    $\overline{AB}=(\ 3\ ;\ 4\ )$

2)  уравнение АВ в каноническом виде :    $\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y}{4}$   ,

уравнение АВ через угловой коэффициент:$4x-20=3y\ \ \Rightarrow \ \ \ y=\dfrac{4}{3}\, x-\dfrac{20}{3}\ \ \Rightarrow \ \ \bf k=\dfrac{4}{3}$  

Аналогично для ВС:     $\dfrac{x-8}{9-8}=\dfrac{y-4}{2-4}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x-8}{1}=\dfrac{y-4}{-2}\ \ ,$  

$-2x+16=y-4\ \ \Rightarrow \ \ \ y=-2x+20\ \ ,\ \ \ \bf k=-2$  

3)  внутренний угол В :

$cos\alpha =\dfrac{\overline{AB}\cdot \overline{BC}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{BC}|}=\dfrac{3\cdot 1+4\cdot (-2)}{5\cdot \sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{-5}{5\cdot 5}=-\dfrac{1}{5}=-0,2\ ,\\\\\\\alpha =arccos(-0,2)\approx 101,54^\circ \approx \bf 1,77\ radian$

4)  Точка Е - середина стороны ВС . Её координаты:

$x_{E}=\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=\dfrac{8+9}{2}=\dfrac{17}{2}=8,5\\y_{E}=\dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}=\dfrac{4+2}{2}=3\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ E(\ 8,5\ ;\ 3\ )\\\\AE:\ \ \ \dfrac{x-5}{8,5-5}=\dfrac{y}{3-0}\ \ \ ,\ \ \ \bf \dfrac{x-5}{3,5}=\dfrac{y}{3}$

5) Высота СD ⊥ АВ , значит направляющий вектор для АВ является нормальным вектором для CD :  

$\vec{n}_{CD}=\vec{s}_{AB}=(\ 3\ ;\ 4\ )\\\\CD:\ \ 3(x-9)+4(y-2)=0\ \ ,\ \ \ \bf 3x+4y-35=0$    

Координаты точки пересечения CD и АВ находим из системы

$\left\{\begin{array}{l}3x+4y=35\\4x-3y=20\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=8\\x=1\end{array}\right\ \ \ \ tochka\ \ D(1;8)$  

Длина высоты CD равна  $|\, \overline{CD}\, |=\sqrt{(9-1)^2+(2-8)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=\bf 10$  

6)  прямая  $l$  , которая проходит через точку Е( 8,5 ; 3 ), параллельно стороне АВ:

$l:\dfrac{x-8,5}{3}=\dfrac{y-3}{4}\ \ ,\ \ 3x-34=3y-9\ \ ,\ \ \bf 3x-3y-25=0$  

точка пересечения прямой   $l$  и  высоты СD:

$\left\{\begin{array}{l}3x-3y=25\\3x+4y=35\end{array}\right\ \ominus \ \left\{\begin{array}{l}3x=3y+25\\7y=10\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{205}{21}\\\ \ \ y=\frac{10}{7}\end{array}\right\ \ \ \bf M(\ \frac{205}{21}\ ;\ \frac{10}{7}\ )$