Question

Довести, що задані чотири точки лежать в одній площині: A(1;2;-1), B(0;1;5), C(-1;2;1), D(2;1;3).

Answer 1

Ответ:

Точки лежат в одной плоскости, если смешанное произведение векторов, составленных из этих точек, равно 0 .

$A(1;2;-1)\ ,\ B(0;1;5)\ ,\ C(-1;2;1)\ ,\ D(2;1;3)\\\\\overline{AB}=(-1;-1;6)\ ,\ \overline{AC}=(-2;0;2)\ ,\ \overline{AD}=(1;-1;4)$  

Найдём cмешанное произведение векторов . Составим определитель 3 порядка и раскроем его по элементам 1 строки .

$(\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}-1&-1&6\\-2&0&2\\1&-1&4\end{array}\right|=-1\cdot (0+2)+1\cdot (-8-2)+6\cdot (2-0)=\\\\\\=-2-10+12=0$  

Так как определитель равен 0, то четыре заданных точки лежат в одной плоскости .