Question

Похідна неявної функції

Answer 1

Ответ:

Производные функций:

6.88

$\boldsymbol{\boxed{ y' = (x^{2} + 3x)^{x^{2} - 4} \Bigg( 2x \ln(x^{2} + 3x) + \dfrac{(x^{2} - 4)(2x + 3) }{(x^{2} + 3x)}\Bigg)}}$

6.72

$\boldsymbol{\boxed{Y'= -\dfrac{2x + y^{3} + 1}{3xy^{2} - 3}}}$

Примечание:

По таблице производных:

$\boxed{x^{n} = nx^{n - 1}}$

$\boxed{C' = 0}$, где $C \in \mathbb R$

$\boxed{(\ln x)' = \dfrac{1}{x} }$

По правилам дифференцирования:

$(f \pm g)' = f' \pm g'$

$(fg)' = f'g + fg'$

$\bigg(\dfrac{f}{g} \bigg)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^{2}}$

$f(g) = g'f'(g)$

$(kf)' = kf'$, где $k \in \mathbb R$

Пошаговое объяснение:

6.88

$y = (x^{2} + 3x)^{x^{2} - 4}$

Воспользуемся логарифмическим дифференцированием:

$\ln y = \ln\bigg( (x^{2} + 3x)^{x^{2} - 4} \bigg)$

$\ln y = (x^{2} - 4) \ln(x^{2} + 3x)$

$(\ln y )' = \Bigg( (x^{2} - 4) \ln(x^{2} + 3x)\Bigg)'$

$\dfrac{y'}{y} = (x^{2} - 4)' \ln(x^{2} + 3x) + (x^{2} - 4)( \ln(x^{2} + 3x)) ' =$

$= 2x \ln(x^{2} + 3x) + \dfrac{(x^{2} - 4)(x^{2} + 3x)' }{(x^{2} + 3x)} = 2x \ln(x^{2} + 3x) + \dfrac{(x^{2} - 4)(2x + 3) }{(x^{2} + 3x)}$

$\dfrac{y'}{ (x^{2} + 3x)^{x^{2} - 4}} =2x \ln(x^{2} + 3x) + \dfrac{(x^{2} - 4)(2x + 3) }{(x^{2} + 3x)} \Longrightarrow$

$\Longrightarrow \boxed{ y' = (x^{2} + 3x)^{x^{2} - 4} \Bigg( 2x \ln(x^{2} + 3x) + \dfrac{(x^{2} - 4)(2x + 3) }{(x^{2} + 3x)}\Bigg)}$

6.72

$x^{2} + xy^{3} + x = 3y$ - пусть функция $Y$

$x^{2} + xy^{3} + x - 3y =0$

Пусть $z = x^{2} + xy^{3} + x - 3y$ - функция двух переменных

По формуле производной функции заданной неявно:

$Y' = -\dfrac{\bigg( \dfrac{\partial z }{\partial x} \bigg)}{\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg)} =- \dfrac{\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg( x^{2} + xy^{3} + x - 3y\bigg)}{\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(x^{2} + xy^{3} + x - 3y \bigg)} = -\dfrac{2x + y^{3} + 1}{3xy^{2} - 3}$