Question

при яких значеннях а можлива рівність cos x = a² - 5a + 5

Answer 1

Ответ:  a ∈   [ 1 ; 2]  ∪ [ 3 ;4]

Объяснение:

При яких значеннях а можлива рівність cos x = a² - 5a + 5

Область значений  функции   y = cos x  находится в данном промежутке   y ∈ [ -1 ; 1]  или  -1 ≤ y ≤  1

Таким образом равенство будет выполнятся только тогда , когда :

-1 ≤ a² - 5a + 5 ≤  1

Разбиваем данное неравенство на два , решаем их по отдельности , а затем находим их пересечение

I)  a² - 5a + 5 ≤  1

    a² - 5a + 4 ≤ 0

    (a-1)(a-4) ≤ 0

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.95,-0.3) {\sf 1} \put(1 ,0.1){ \LARGE \text{~~~ ---} } \put(.1 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(2.3,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 4}\put(2.05,0){\circle*{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

a ∈  [ 1 ; 4]

II) a² - 5a + 5 ≥ - 1

  a² - 5a + 6 ≥ 0

  (a-3)(a-2) ≥ 0

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.95,-0.3) {\sf 2} \put(1 ,0.1){ \LARGE \text{~~~ ---} } \put(.1 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(2.3,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 3}\put(2.05,0){\circle*{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

a ∈  ( -∞  ; 2] ∪ [ 3 ; ∞ )

Находим  пересечения данных промежутков

По итогу выйдет что :

a ∈   [ 1 ; 2]  ∪ [ 3 ;4]