Question

Вычислить данные криволинейные интегралы.

Answer 1

Ответ:

Криволинейный интеграл:

$\boldsymbol{\boxed{ \int\limits_{L_{OB}} xy^{2} \ dx + yz^{2} \ dy - x^{2}z \ dz = 91}}$

Примечание:

Считаем, что в условии опечатка и везде идет речь об отрезке OB

Уравнение прямой проходящей через 2 точки $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ и $B(x;y;z) :$

$\left \{\begin{array}{l} x(t) =x_{0}(1 - t) +x_{1}t \\ y(t)= y_{0}(1 - t) +y_{1}t\\z(t) =z_{0}(1 - t) +z_{1}t\end{array} \right$

По формуле вычисления криволинейного интеграла второго рода:

Если кривая $L_{AB}$ задана параметрическим уравнением $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$, $t \in [t_{1};t_{2}]$, где  $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$ - непрерывно дифференцируемые функции от параметра $t$, где изменение параметра $t$ от $t_{1}$ до $t_{2}$ соответствует движению точки по кривой $L_{AB}$ от точки $A \bigg (x(t_{1});y(t_{1});z(t_{1}) \bigg)$ до точке $B \bigg (x(t_{1});y(t_{1});z(t_{1}) \bigg)$, тогда криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

$\displaystyle \int\limits_{L_{AB}} P(x;y;z) \ dx + Q(x;y;z) \ dy + R(x;y;z) \ dz =$

$\displaystyle = \int\limits^{t_{2}}_{t_{1}} \bigg ( x'(t)P\bigg(x(t);y(t);z(t) \bigg) + y'(t)Q\bigg(x(t);y(t);z(t) \bigg) +z'(t)R\bigg(x(t);y(t);z(t) \bigg) \bigg ) \, dt$  

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits_{L_{OB}} xy^{2} \ dx + yz^{2} \ dy - x^{2}z \ dz; \ O(0;0;0);B(-2;4;5)$

Уравнение прямой проходящей через 2 точки:

$\left \{\begin{array}{l} x(t) =0(1 - t) +(-2)t =-2t \\ y(t)= 0(1 - t) +4t = 4t\\z(t) =0(1 - t) +5t = 5t\end{array} \right$

Производные от функций $x(t),y(t),z(t):$

$x'(t) = (-2t)' =-2$

$y'(t) = (4t)' = 4$

$z'(t) = (5t)' = 5$

Изменение параметра $t$ от точки $O$ до точки $B:$

$x(t) = -2t$

$O: 0 = -2t \Longrightarrow t = 0$

$B: -2 = -2t \Longrightarrow t = 1$

Следовательно отрезок $OB$ задается следующим уравнением при

$t \in [0;1]:$

$\left \{\begin{array}{l} x(t) =-2t \\ y(t)=4t\\z(t) = 5t\end{array} \right$

По формуле вычисления криволинейного интеграла второго рода:

$\displaystyle \int\limits_{L_{OB}} xy^{2} \ dx + yz^{2} \ dy - x^{2}z \ dz = \int\limits_{0}^{1} -2(-2t \cdot 16t^{2}) \ dt + 4(4t \cdot 25t^{2}) \ dt - 5(4t^{2} \cdot 5t) \ dt =$

$\displaystyle = \int\limits_{0}^{1} (64t^{3} + 400t^{3} - 100t^{3}) \ dt = \int\limits_{0}^{1} 364t^{3} \ dt = 364 \int\limits_{0}^{1} t^{3} \ dt = 364 \cdot \dfrac{t^{4}}{4} \bigg |^{1}_{0} =$

$=91 \cdot t^{4} \bigg |^{1}_{0}=91(1^{4} - 1^{0}) = 91(1 -0) = 91 \cdot 1 = 91$