Question

Найдите целые корни и разложите на множители многочлен:
1)х³-4х²+х+6. 3)х⁴-2х³-6х²+5х+2
2)х⁴+5х²-6. 4)х⁴+х³-7х²-х+6
(⁠￣⁠ヘ⁠￣⁠;⁠)​

Answer 1

Ответ:

1) х³-4х²+х+6 = (х+1)(х-2)(х-3)

2) х⁴+5х²-6 = (x - 1)(x+ 1)(x² + 6)  

или      $\displaystyle x^4+5x^2-6 = (x - 1)(x+ 1)(x - \sqrt{6} i)(x+\sqrt{6} i)$

3) х⁴-2х³-6х²+5х+2 = (x - 1)(x + 2)(x² - 3x -1)

4) х⁴+х³-7х²-х+6 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 3)

Пошаговое объяснение:

Раскладывать многочлен на множители можно разными способами.

Мы применим некоторые из них.

1)  х³-4х²+х+6

Здесь применим следствие из теоремы Безу

• свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами.
• если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми.

Делители свободного члена ±1; ±2; ±3; ±6

просто подставляем эти значения в формулу

1        1-4+1+6 ≠ 0

-1       -1-4-1+6 = 0  - это корень уравнения

2       8-16+2+6 = 0- это корень уравнения

-2      -8-16-2+6 ≠ 0

3       27-36+3+6 = 0 - это корень уравнения

-3     -27-36-3+6≠0

6      216-144+6+6 ≠0

-6     -216-144-6+6 ≠ 0

Наше уравнение имеет три корня, мы их нашли

х³-4х²+х+6 = (х+1)(х-2)(х-3)

2)  х⁴+5х²-6

Здесь решаем так же, как номер 1)

Делители свободного члена ±1; ±2; ±3; ±6

1       1+5-6 = 0 - это корень уравнения х = 1

-1      поскольку в уравнении только положительные степени, х = (-1) - это тоже корень уравнения

2      16 + 20 -6 ≠ 0

аналогично (-2) не корень уравнения

3    81 +45-6  ≠ 0

(-3)   тоже не корень уравнения

6    и  -6 явно не будут корнями.

Таким образом, мы нашли два целых действительных корня.

1 и (-1).

Следовательно, два первых сомножителя (х-1)(х+1) а это есть (x²-1) как разность квадратов

Разделим многочлен  х⁴+5х²-6  на (x²-1)

$\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 & +5x^2 & -6 & & & & \;x^2-1 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & -x^2 & & & & & \; x^2+6\\\cline{1-5} & & 6x^2& -6 & & \\\cline{1-1} & & 6x^2& -6 & & \\\cline{3-6} & & & & & 0 \\\end{array}$

Итак, мы получили  х⁴+5х²-6 = (x - 1)(x+ 1)(x² + 6)

x² + 6 не имеет рациональных корней.

Значит, наше разложение по рациональным корням верное.

Добавим иррациональные корни и получим

$\displaystyle x^4+5x^2-6 = (x - 1)(x+ 1)(x - \sqrt{6} i)(x+\sqrt{6} i)$

3)    х⁴-2х³-6х²+5х+2

Уравнение имеет 4 корня.

Делители свободного члена ±1; ±2;

1     1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0  - это корень уравнения

-1    1 + 2 - 6 - 5 + 2 ≠ 0

2    16 - 16 - 24 + 10 +2 ≠ 0

-2   16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0 это корень уравнения

Таким образом, есть два целочисленных корня уравнения

(x -1)(x + 2)  

(x -1)(x + 2)  = x² + x - 2

Разделим исходный многочлен на ( x² + x - 2)

$\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 & -2x^3 & -6x^2 & +5x& +2& & \;x^2+x-2 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & +x^3 & -2x^2 & & & & \; x^2-3x-1\\\cline{1-4} & & -3x^3& +4x^2 & +5x& \\\cline{1-1} & & -3x^3& -3x^2 & +6x& \\\cline{3-5} & & & x^2& -x& +2\\\cline {1-1} & & & x^2& -x& +2\\\cline {4-6} & & & & & 0\\\\\end{array}$

Мы нашли третий сомножитель.

Легко проверить, что  (x² -3x -1) не имеет целочисленных корней.

Поэтому наш ответ

х⁴-2х³-6х²+5х+2 = (x - 1)(x + 2)(x² - 3x -1)

4) х⁴+х³-7х²-х+6

Здесь можно так же рассматривать сомножители свободного члена.

Но мы пойдем другим путем.

Используем другое следствие из теоремы Безу

• если сумма всех коэффициентов уравнения а₀хⁿ + а₁хⁿ⁻¹ + .... аₙ₋₁х + аₙ равна нулю, то x₁ = 1 является корнем уравнения.

В нашем уравнении это условие выполняется. Следовательно х = 1 - это один корень уравнения

Делим исходное уравнение на (х - 1)

$\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 &x^3 & -7x^2 & -x& +6& & \;x-1 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & -x^3 & & & & & \; x^3-2x^2-5x-6\\\cline{1-3} & & 2x^3& -7x^2 & & \\\cline{1-1} & & 2x^3& -2x^2 & & \\\cline{3-4} & & & -5x^2& -x& \\\cline {1-1} & & & -5x^2& +5x& \\\cline {4-5} &&&&-6x&+6\\\cline {1-1}&&&&-6x&+6\\\cline {5-6} & & & && 0\\\\\end{array}$

Дальше раскладываем на множители частное x³ - 2x² -5x -6/

Cвободный член имеет сомножители ±1; ±2; ±3; ±6

Найдем один из корней

1   1 +2 - 5 -6 ≠ 0

-1    -1 -2 + 5 - 6 ≠ 0

2     8 + 8 -10 -6  = 0 - это второй корень исходного уравнения х = 2

Делим частное  (x³ -2x² -5x -6) на (х - 2)

$\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^3 & -+2x^2 & -5x & -6&& & \;x-2 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^3 & -2x^2 && & & & \; x^2+4x+3\\\cline{1-3} & & 4x^2& -5x & & \\\cline{1-1} & & 4x^2& -8x & & \\\cline{3-4} & & & 3x&-6& \\\cline {1-1} & & & 3x& -6& \\\cline {4-6} & & & & & 0\\\\\end{array}$

Теперь в полученном частном выделим полный квадрат

x² + 4x + 3 = (x² + 4x +4) -4 +3 = (x + 2)² -1    это разность квадратов.

Распишем  ее по формуле разности квадратов

(x + 2)² -1  = (x + 2 +1)(x + 2 - 1) = (x + 3) (x + 1)

Таким образом, мы нашли еще два корня исходного уравнения

х = -3  и х = - 1

И все наше уравнение раскладывается на множители так:

х⁴+х³-7х²-х+6 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 3)