Question

Решите дифференциальные уравнения метод Бернулли срочно !!!

Answer 1

Ответ:

Решения дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{\ln \bigg |\dfrac{y}{x} - 1 \bigg | - \dfrac{x}{y - x} + \ln x = C}}$

$\boldsymbol{\boxed{y = x}}$

$\boldsymbol{\boxed{x = 0}}$

Примечание:

$t \ -$ функция зависит от аргумента х

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

$\boxed{\int {\frac{1}{x} } \, dx = \ln|x| }$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Пошаговое объяснение:

$xyy' = 2yx - x^{2}$

$xyy' - 2yx = - x^{2}$

$xy(y' - 2) = - x^{2}$

$y' - 2 = -\dfrac{x^{2} }{xy}$

$y' = 2 - \dfrac{x}{y}$

-----------------------------------------------

Замена:

$y = tx \Longrightarrow t = \dfrac{y}{x} \ (x \neq 0)$

$y' = (tx)' = t'x + tx' = t'x + t$

$t' = \dfrac{dt}{dx}$

При х = 0:

$0 \cdot yy' = 2y \cdot 0 - 0^{2}$

$0 = 0 \Longrightarrow x = 0$ - решение дифференциального уравнения

-----------------------------------------------

$t'x + t = 2 - \dfrac{x}{tx}$

$\dfrac{dt}{dx} \cdot x + t = 2 - \dfrac{1}{t}$

$\dfrac{dt}{dx} \cdot x = 2 - t - \dfrac{1}{t} = \dfrac{2t - t^{2} - 1}{t}$

$\dfrac{t \ dt}{ - t^{2} + 2t - 1} = \dfrac{dx}{x} \bigg | \cdot (-1)$

$\dfrac{t \ dt}{t^{2} - 2t + 1} = -\dfrac{dx}{x}$

$\dfrac{t - 1 + 1}{(t - 1)^{2}} \ dt = -\dfrac{dx}{x}; t \neq 1$

------------------------------------------------

При $t = 1:$

$y = tx = 1 \cdot x = x$ - решение дифференциального уравнения

-------------------------------------------------

$\displaystyle \int \dfrac{t - 1 + 1}{(t - 1)^{2}} \ dt = \int -\dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{(t - 1)}{(t - 1)^{2}} \ dt + \int \dfrac{ 1}{(t - 1)^{2}} \ dt = -\int \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{(t - 1)} \ d(t - 1) + \int (t - 1)^{-2}\ d(t - 1) = -\ln|x| + C$

$\ln|t - 1| + \dfrac{(t - 1)^{-2 + 1}}{-2 + 1} + \ln x = C$

$\ln|t - 1| - \dfrac{1}{t - 1} + \ln x = C$

$\ln \bigg |\dfrac{y}{x} - 1 \bigg | - \dfrac{1}{\dfrac{y}{x} - 1 } + \ln x = C$

$\boxed{\ln \bigg |\dfrac{y}{x} - 1 \bigg | - \dfrac{x}{y - x} + \ln x = C}$ - общий интеграл дифференциального уравнения