Question

Допоможіть знайти похідну , даю 50 балів за срочность ❤️

Answer 1

Ответ:

Производные функций:

е)

$\boxed{y'_{x} = \text{ctg} \ t}$

г)

$\boxed{Y' = \dfrac{\dfrac{y}{x^{2} } \sin \dfrac{y}{x}}{\dfrac{1}{x} \sin \dfrac{y}{x}+2y}}$

Примечание:

По таблице производных:

$\boxed{(x^{n})' = nx^{n - 1}}$

$\boxed{(\sin x)' =\cos x }$

$\boxed{(\cos x)' = -\sin x}$

Правила дифференцирования:

$(fg)' = f'g + fg'$

$\bigg(\dfrac{f}{g} \bigg)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^{2}}$

$f(g) = g'f'(g)$

$(kf)' = kf'$, где $k \in \mathbb R$

Пошаговое объяснение:

е)

В данном случае функция задана параметрически:

$\displaystyle \left \{ {{y=4 - 3\sin t} \atop {x=3 \cos t}} \right.$

По формуле производной функции заданной параметрически:

$y'_{x} = \dfrac{y'_{t}}{x'_{t}} = \dfrac{(4 - 3\sin t)'}{(3 \cos t)'} = \dfrac{(4)' - (3\sin t)'}{3( \cos t)'} = \dfrac{0 - 3(\sin t)'}{-3 \sin t} = \dfrac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg} \ t$

г)

$\cos \dfrac{y}{x} = y^{2}$ - пусть это функция $Y$.

$\cos \dfrac{y}{x} - y^{2} =0$

Пусть $z = \cos \dfrac{y}{x} - y^{2}$, где $z \ -$ функция двух переменных.

По формуле производной функции заданной неявно:

$Y' = -\dfrac{\bigg( \dfrac{\partial z }{\partial x} \bigg)}{\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg)} =- \dfrac{\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg( \cos \dfrac{y}{x} - y^{2}\bigg)}{\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(\cos \dfrac{y}{x} - y^{2} \bigg)} = -\dfrac{-\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)\sin \dfrac{y}{x}}{-\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)\sin \dfrac{y}{x}-2y} =$

$= -\dfrac{\dfrac{y}{x^{2} } \sin \dfrac{y}{x}}{-\dfrac{1}{x} \sin \dfrac{y}{x}-2y} = \dfrac{\dfrac{y}{x^{2} } \sin \dfrac{y}{x}}{\dfrac{1}{x} \sin \dfrac{y}{x}+2y}$