Question

Задача 3 Дан трегольник АВС, где LA = 60°. Пусть точки Н и I - точки пересечения высот и биссектрис в треугольнике ДАВС. Докажите, что точки В, С, Н, I лежат на одной окружности.​

Answer 1

Ответ:

Доказано, что В, С, Н, I лежат на одной окружности.​

Пошаговое объяснение:

Дан треугольник АВС, где ∠A = 60°. Пусть точки Н и I - точки пересечения высот и биссектрис в треугольнике АВС. Докажите, что точки В, С, Н, I лежат на одной окружности.​

Дано: ΔАВС.

∠А = 60°;

АТ ∩ СР ∩ ВЕ = Н - высоты;

АМ ∩ СК ∩ ВХ = I - биссектрисы;

Доказать: В, С, Н, I лежат на одной окружности.​

Доказательство:

Рассмотрим ΔВНС.

• Около любого треугольника можно описать окружность.

⇒ В, Н, С ⊂ Окр.О.

Докажем, что точка I ∈ Окр.О.

Рассмотрим ΔАВЕ - прямоугольный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АВЕ = 90° - 60° = 30°

Рассмотрим ΔРВН - прямоугольный.

⇒ ∠ВНР = 90° - 30° = 60°

• Сумма смежных углов равна 180°.

⇒ ∠ВНС = 180° - ∠ВНР = 180° - 60° = 120°

∠ВНС - вписанный.

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒ ◡ВmC = 240°

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°

∠ABX = ∠XBC = 1/2∠В (BX - биссектриса)

∠АСК = ∠КСВ = 1/2∠С (СК - биссектриса)

⇒ ∠ХВС + ∠КСВ = 1/2(∠С + ∠В) = 120° : 2 = 60°

Рассмотрим ΔBIC.

∠BIC = 180° - (∠ХВС + ∠КСВ) = 1/2(∠С + ∠В) =180° - 60° = 120°

Так как ∠BIC опирается на ◡ВmC и равен ее половине, то он тоже вписанный и его вершина I лежит на данной окружности.

⇒ В, С, Н, I лежат на одной окружности.​

#SPJ1