Задача 3 Дан трегольник АВС, где LA = 60°. Пусть точки Н и I - точки пересечения высот и биссектрис в треугольнике ДАВС. Докажите, что точки В, С, Н, I лежат на одной окружности.
Ответы
Ответ:
Доказано, что В, С, Н, I лежат на одной окружности.
Пошаговое объяснение:
Дан треугольник АВС, где ∠A = 60°. Пусть точки Н и I - точки пересечения высот и биссектрис в треугольнике АВС. Докажите, что точки В, С, Н, I лежат на одной окружности.
Дано: ΔАВС.
∠А = 60°;
АТ ∩ СР ∩ ВЕ = Н - высоты;
АМ ∩ СК ∩ ВХ = I - биссектрисы;
Доказать: В, С, Н, I лежат на одной окружности.
Доказательство:
Рассмотрим ΔВНС.
- Около любого треугольника можно описать окружность.
⇒ В, Н, С ⊂ Окр.О.
Докажем, что точка I ∈ Окр.О.
Рассмотрим ΔАВЕ - прямоугольный.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠АВЕ = 90° - 60° = 30°
Рассмотрим ΔРВН - прямоугольный.
⇒ ∠ВНР = 90° - 30° = 60°
- Сумма смежных углов равна 180°.
⇒ ∠ВНС = 180° - ∠ВНР = 180° - 60° = 120°
∠ВНС - вписанный.
- Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
⇒ ◡ВmC = 240°
- Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°
∠ABX = ∠XBC = 1/2∠В (BX - биссектриса)
∠АСК = ∠КСВ = 1/2∠С (СК - биссектриса)
⇒ ∠ХВС + ∠КСВ = 1/2(∠С + ∠В) = 120° : 2 = 60°
Рассмотрим ΔBIC.
∠BIC = 180° - (∠ХВС + ∠КСВ) = 1/2(∠С + ∠В) =180° - 60° = 120°
Так как ∠BIC опирается на ◡ВmC и равен ее половине, то он тоже вписанный и его вершина I лежит на данной окружности.
⇒ В, С, Н, I лежат на одной окружности.
#SPJ1
