Question

помогите пожалуйста
найдите площадь треугольника если две его стороны соответственно равны 12 см 13 см и угол между этими сторонами sin альфа 12/13

Answer 1

Дано:

b = 12 см

c = 13 см

sinα = 12/13

-------------

S - ?

Решение: площадь треугольника по трем сторонам находится по формуле Герона:

$S=\sqrt{p*(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

Третья сторона находится по теореме косинусов:

$a = \sqrt{b^{2} +c^{2} -2*b*c*cos\alpha }$

Нам дан синус угла. Через него находим косинус этого же угла:

$cos\alpha =\sqrt{1-sin^{2} \alpha }$

Теперь вставляем все значения и находим косинус угла

$cos\alpha =\sqrt{1-(\frac{12}{13} )^{2} } =\sqrt{1-\frac{12^{2} }{13^{2} } } =\sqrt{1-\frac{144}{169} } =\sqrt{\frac{169}{169} -\frac{144}{169} } =\sqrt{\frac{169-144}{169} } =$

$=\sqrt{\frac{25}{169} } =\frac{5}{13}$

С косинусом угла находим неизвестную сторону

$a=\sqrt{12^{2} +13^{2} -2*12*13*\frac{5}{13} } =\sqrt{144 +169 -24*5} =\sqrt{313-120} =$

$=\sqrt{193}$

Вычислим полупериметр

$p=\frac{12+13+\sqrt{193} }{2} =\frac{25+\sqrt{193} }{2}$

Находим площадь треугольника

$S=\sqrt{\frac{25+\sqrt{193} }{2}*(\frac{25+\sqrt{193} }{2}-\sqrt{193} )(\frac{25+\sqrt{193} }{2}-12)(\frac{25+\sqrt{193} }{2}-13)} =$

$=\sqrt{\frac{25+\sqrt{193} }{2}*(\frac{25+\sqrt{193} }{2}-\frac{2\sqrt{193} }{2} )(\frac{25+\sqrt{193} }{2}-\frac{24}{2} )(\frac{25+\sqrt{193} }{2}-\frac{26}{2} )} =$

$=\sqrt{\frac{25+\sqrt{193} }{2}*(\frac{25+\sqrt{193} -2\sqrt{193} }{2} )(\frac{25+\sqrt{193} -24}{2} )(\frac{25+\sqrt{193} -26}{2} )} =$

$=\sqrt{\frac{25+\sqrt{193} }{2}*\frac{25-\sqrt{193} }{2} *\frac{\sqrt{193} +1}{2} *\frac{\sqrt{193} -1}{2} } =$

$=\sqrt{\frac{(25+\sqrt{193} )(25-\sqrt{193})}{4} *\frac{(\sqrt{193} +1)(\sqrt{193} -1)}{4}} =\sqrt{\frac{625-193}{4} *\frac{193-1}{4} } =\sqrt{\frac{432 }{4} *\frac{192}{4} }=$

$=\sqrt{108*48} =\sqrt{5184} =72$ см²

Ответ: площадь треугольника равна 72 см²