Question

Визначити об'єм трикутної
піраміди з вершинами A( 12; 13; 4), B( 4; 9; 12),
C( 5; 13; 10) i D( 21; 5; 8).

Answer 1

Ответ.

Объём треугольной пирамиды можно вычислить, применяя смешанное произведение векторов :  $\bf V=\dfrac{1}{3}\cdot \Big|\, (\vec{a},\vec{b},\vec{c})\ \Big|$   .

$\vec{a}=\overline{AB}=(-8;-4;8)\ \ ,\ \ \vec{b}=\overline{AC}=(-7;0;6)\ \ ,\ \ \vec{c}=\overline{AD}=(9;-8;4)$  

Вычисляем смешанное произведение, раскрывая определитель по первой строке .

$\bf (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}\bf -8&-4&8\\-7&0&6\\9&-8&4\end{array}\right|=-8\cdot (0+48)+4\cdot (-28-54)+8\cdot (56-0)=\\\\\\=-384-328+448=-264$    

$\bf V=\dfrac{1}{3}\cdot \Big|\, (\vec{a},\vec{b},\vec{c})\ \Big|=\dfrac{1}{3}\cdot |-264|=\dfrac{264}{3}=88$