Question

Скільки розв'язків має рівняння
2/|1-x|+|x+1| =a, залежно від параметра а? Будь ласка поможіть !​ поможіть ПЖ даю 100 балів

Answer 1

Ответ:

      $\bf \dfrac{2}{|1-x|+|x+1|}=a\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ |1-x|+|x+1|=\dfrac{2}{a}$  

Построим график функции  $y=|1-x|+|x+1|$  . Для этого рассмотрим три промежутка на числовой оси , где изменяется переменная  х .

$1)\ \ x\leq -1\ ,\\\\(1-x) > 0\ \ \to \ \ |1-x|=1-x\ \ ,\ \ (x+1) < 0\ \ \to \ \ |x+1|=-(x+1)\ ,\\\\|1-x|+|x+1|=1-x-(x+1)=-2x\ \ ,\ \ y=-2x\\\\2)\ \ -1 < x\leq 1\ \ ,\\\\ (1-x) > 0\ \ \to \ \ |1-x|=1-x\ \ ,\ \ (x+1) > 0\ \ \to \ \ |x+1|=x+1\ \ ,\\\\|1-x|+|x+1|=2\ \ ,\ \ y=2\\\\3)\ \ x > 1\ \ ,\ \ (1-x) < 0\ \ \to \ \ |1-x|=-(1-x)\ \ ,\ \ (x+1) > 0\ \ \to \ \ |x+1|=x+1\\\\|1-x|+|x+1|=-(1-x)+(x+1)=2x\ \ ,\ \ \ y=2x$  

Итак, при  $x\in (-\infty ;-1\ ]$    строим график функции  $y=-2x$  ;

при  $x\in (-1\, ;\ 1\ ]$    строим график функции   $y=2$  ;

при   $x\in (\ 1\ ;+\infty )$  строим график функции   $y=2x$  .  

Можно записать функцию , содержащую модули, таким образом :

 $y=\left\{\begin{array}{l}-2x\ ,\ x\leq -1\ ,\\\ \ 2\ ,\ \ -1 < x\leq 1\ ,\\\ \ 2x\ ,\ \ x > 1\ .\end{array}\right$      

График функции  $y=\dfrac{2}{a}\ ,\ a\ne 0$   при   $a=const$  ( a = число , a≠0 )  представляет из себя прямую линию, параллельную оси ОХ, пересекающую ось ОУ в точке  ( 0 ; 2/a ) .  

Нарисуем графики функций в системе координат не ХОУ , а  ХО(2/a)

Теперь проведём несколько прямых  $\dfrac{2}{a}=const$, придавая параметру  

а  различные числовые значения .  И определим, сколько точек

пересечения имеют графики. Cмотри рисунок .

Ответ:  

если    $\dfrac{2}{a} < 2\ \ \Rightarrow \ \ \bf a > 1$  , то  графики не пересекаются , значит заданное уравнение не имеет решений ,   $\boldsymbol{x\in \varnothing}$  ;

если    $\dfrac{2}{a}=2\ \ \Rightarrow \ \ \bf a=1$  ,  то   графики имеют бесчисленное множество точек пересечения на промежутке   $\boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 1\ ]}$  , значит заданное уравнение имеет бесчисленное множество решений ;

eсли     $\dfrac{2}{a} > 2\ \ \Rightarrow \ \ \bf a < 1$  ,  то графики пересекаются только в двух точках .Значит заданное уравнение имеет два решения   $\bf x=\pm \dfrac{1}{a}$  ,

так как      $2x=\dfrac{2}{a}\ \ \to \ \ x=\dfrac{1}{a}\ \ ;\qquad \ \ -2x= \dfrac{2}{a}\ \ \to \ \ x=-\dfrac{1}{a}$  .