Question

Інтегральна крива звичайного диференціального рівняння з розділеними змінними y′xcosy=2lnx проходить через точку M0(e;π/2). Знайдіть x, при якому y=0.

Answer 1

Ответ:

При x = 1 функция у равна нулю

Примечание:

Производная через дифференциалы:

$y' = \dfrac{dy}{dx}$

По таблице интегралов:

$\boxed{\int {\frac{1}{x} } \, dx = \ln|x| }$

$\boxed{\int { \cos x } \, dx = \sin x }$

Пошаговое объяснение:

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

$y'x \cos y = 2 \ln x$

$\dfrac{x \cos y \ dy}{dx} = 2 \ln x$

$\displaystyle \int {\cos y} \, dy = \int {\dfrac{2 \ln x}{x} } \, dx$

$\displaystyle \int {\cos y} \, dy =2 \int { \ln x } \, d ( \ln x )$

$\sin y + C= 2 \cdot\dfrac{\ln^{2} x}{2}$

$\boldsymbol{\boxed{C = \ln^{2} x - \sin y}}$ - общий интеграл дифференциального уравнения

Частное решение (по условию интегральная кривая проходит через точку $M_{0}\bigg(e;\dfrac{\pi}{2} \bigg ):$

$C = \ln^{2} e - \sin \dfrac{\pi}{2} = 1^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

$0 = \ln^{2} x - \sin y$ - частное решение

$\ln^{2} x = \sin y$

$y = 0:$

$\ln^{2} x = \sin 0 = 0 \Longleftrightarrow \ln x = 0 \Longrightarrow x = e^{0} = 1$