Question

100 БАЛІВ
Доведіть що, число 1og₃₊₂√₂(3-2√2) є цілим

Answer 1

Ответ:

Числа  $\bf a$  и  $\bf \dfrac{1}{a}$   называются взаимно обратными, если   $\bf a\cdot \dfrac{1}{a}=1$  .

Докажем, что  $\bf (3+2\sqrt2)$  и   $\bf (3-2\sqrt2)$  взаимно обратны .

$(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=3^2-(2\sqrt2)^2=9-4\cdot 2=1\ \ \Rightarrow \ \ \boxed{\bf 3-2\sqrt2=\dfrac{1}{3+2\sqrt2}\ }$  

Применим ещё правилa

  $\bf log_{a}\, a=1\ \ ,\ \ log_{a}\, b^{k}=k\cdot log_{a}\, b\ ,\ \ a > 0\ ,\ a\ne 1\ ,\ b > 0\ .$   .

Получим

$\bf log\ _{3+2\sqrt2}\ (3-2\sqrt2)=log\ _{\bf 3+2\sqrt2}\ \dfrac{1}{3+2\sqrt2}=log\ _{3+2\sqrt2}\, (3+2\sqrt2)^{-1}=\\\\\\=-1\cdot log\ _{3+2\sqrt2}\ (3+2\sqrt2)=-1\cdot 1=\boxed{\bf -1\ }$  

Получили целое число .