Question

знайти похідну неявної функції

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf y'=\frac{y^3\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } - x^2y}{xy^2\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } -x^3}$

Пошаговое объяснение:

Найти производную неявной функции:

$\displaystyle \bf arcsin\frac{x}{y} +\frac{y}{x}=0$

Здесь у - функция от х ⇒ (у)' = y'.

Понадобятся формулы:

$\boxed {\displaystyle \bf \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} ,\;\;\;\;\;(arcsin\;u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2} } }$

Найдем производную:

$\displaystyle \bf \left(arcsin\frac{x}{y} \right)'+\left(\frac{y}{x}\right)'=0$

$\displaystyle \bf \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } } \cdot\left(\frac{x}{y} \right)'+\frac{y'\cdot{x}-y\cdot1}{x^2} =0$

$\displaystyle \bf \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } } \cdot\left(\frac{1\cdot{y}-x\cdot{y'}}{y^2} \right)+\frac{y'\cdot{x}-y\cdot1}{x^2} =0$

$\displaystyle \bf \frac{y-xy'}{y^2\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } }+\frac{xy'-y}{x^2} =0$

Избавимся от знаменателя. Умножим обе части на общий знаменатель:

$\displaystyle \bf x^2y^2\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} }$

Получим:

$\displaystyle \bf x^2y-x^3y'+xy^2y'\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } -y^3\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } =0$

Выражения с y' оставим слева, остальное перенесем вправо:

$\displaystyle \bf -x^3y'+xy^2y'\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } =y^3\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } - x^2y$

$\displaystyle \bf y'\left(xy^2\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } -x^3\right)=y^3\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } - x^2y$

$\displaystyle \bf y'=\frac{y^3\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } - x^2y}{xy^2\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2} } -x^3}$