До кола, з центром в точці (1, -2) і радіусом 5, провести
дотичні паралельні прямій Зх + 4у + 1 = 0.
Ответы
До кола, з центром в точці (1, -2) і радіусом 5, провести дотичні, паралельні прямій Зх + 4у + 1 = 0.
По данным задания составляем уравнение окружности.
(x – 1)² + (y + 2)² = 25.
Можно искать уравнения параллельных прямых по формуле касательной к графику функции.
Но можно использовать свойство: точки касания – это точки пересечения окружности с перпендикуляром из центра окружности к заданной прямой.
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением
A(y-y1)-B(x-x1)=0.
Подставим координаты точки О(1; -2) и коэффициенты А = 3, В = 4 из уравнения заданной прямой.
3(y + 2) – 4*(x - 1) = 0.
Получаем уравнение перпендикуляра: -4x + 3y + 10 = 0.
Теперь надо определить точки касания, решив систему
{(x – 1)² + (y + 2)² = 25,
{-4x + 3y + 10 = 0, отсюда у = (4/3)х – (10/3).
Подставим в первое уравнение.
(x – 1)² + ((4/3)х – (10/3) + 2)² = 25,
(x – 1)² + ((4/3)х – (4/3) )² = 25,
x² - 2x + 1 + (16/9)х² – (32/9)x + (16/9) = 25.
Получаем квадратное уравнение:
(25/9) x² – (50/9)x - (200/9) = 0 или в целых числах
25 x² – 50x – 200 = 0,
x² – 2x – 8 = 0.
Ищем дискриминант:
D = (-2)^2-4*1*(-8) = 4-4*(-8)=4-(-4*8) = 4-(-32) = 4+32 = 36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1 = (√36-(-2))/(2*1) = (6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4;
x_2 = (-√36-(-2))/(2*1) = (-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2.
Значения функции в этих точках:
y_1 = (4/3)*4 – (10/3) = 6/3 = 2,
y_2 = (4/3)*(-2) – (10/3) = -18/3 = -6.
В уравнении параллельной прямой общего вида Ах + Ву + С = 0 коэффициенты А и В сохраняются.
Уравнение одной касательной:
Зх + 4у + С = 0, подставим координаты точки (4; 2).
3*4 + 4*2 + С = 0, отсюда С = -12 – 8 = -20.
Зх + 4у - 20 = 0.
Уравнение второй касательной:
Зх + 4у + С = 0, подставим координаты точки (-2; -6).
3*(-2) + 4*(-6) + С = 0, отсюда С = 6 + 24 = 30.
Зх + 4у + 30 = 0.
