Question

Хлопці та дівчата, допоможіть з п’ятим і шостим

Answer 1

Ответ:

1)   $\displaystyle \boldsymbol { \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{x+3}{x+5} \bigg)^{3x-1}= e^{-6}}$

2)  $\displaystyle \boldsymbol {\lim_{x \to 10} \frac{lg(x)-1}{\sqrt{x-9} -1} =\frac{1}{5}}$

Пошаговое объяснение:

5) Применим второй замечательный предел

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(1+\frac{a}{x} \bigg)^{bx}=e^{ab}$

Преобразуем наш предел

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{x+3}{x+5} \bigg)^{3x-1}= \lim_{x \to \infty} \bigg(1+\frac{-2}{x+5} \bigg)^{3*x-1}$

Здесь а = (-2);  b = 3

и тогда

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(1+\frac{-2}{x+5} \bigg)^{3*x-1}=e^{-2*3}=e^{-6}$

6) Тут будет немного сложнее

преобразуем наше выражение под знаком предела.

а) домножим его на сопряженное знаменателю выражение и представим lg(x) в виде дроби   $\displaystyle \frac{lg(x)}{lg(10)}$.

Получим

$\displaystyle \frac{lg(x)-1}{\sqrt{x-9}-1 } =\frac{\bigg(\frac{lg(x)}{lg(10)}-1\bigg)(\sqrt{x-9} +1) }{x-9-1} =\frac{(lg(x)-lg(10))(\sqrt{x-9} -1)}{(x-10)*lg(10)} =\\\\\\ =\frac{1}{lg(10)} *\frac{(lg(x)-lg(10))*(\sqrt{x-9} +1)}{x-10}$

Теперь рассмотрим пределы

$\displaystyle \lim_{x \to 10} (\sqrt{x-9} +1)=2$

а вот в пределе    $\displaystyle \lim_{x \to 10} \frac{lg(x)-lg(10)}{x-10}$  мы получим

неопределенность    $\displaystyle \frac{0}{0}$

Применим тут правило Лопиталя и получим

$\displaystyle \lim_{x \to 10} \frac{(lg(x)-lg(10))'}{(x-10)'} = \lim_{x \to 10} \frac{1}{x} =\frac{1}{10}$

Теперь соберем всё вместе и получим

$\displaystyle \frac{1}{lg(10)} *2*\frac{1}{10} =1*2*\frac{1}{10} =\frac{1}{5}$

Таким образом

$\displaystyle \lim_{x \to 10} \frac{lg(x)-1}{\sqrt{x-9} -1} =\frac{1}{5}$

#SPJ1