Question

помогите пожалуйста решить задачу
производная ​

Answer 1

Ответ:

1.9    $\displaystyle y'(x) =\frac{6tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot{cos\;4x}}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})}+{\frac{4ln^3(e^{3x}+4x^2)(3e^{3x}+{8x})}{(e^{3x}+4x^2)} }$

1.10   $\displaystyle y'=\frac{2{sin\;2y}+\frac{8}{x} +30x^2}{8\;cos\;2y-2(2x+3)\cdot{cos\;2y}}$

Объяснение:

Вычислить производную:

1.9   $\displaystyle y(x) = tg^3(sin\;2x\cdot{cos\;2x})+ln^4(e^{3x}+4x^2)$

Здесь производная сложной функции.

Производная суммы равна сумме производных.

$\displaystyle y'(x) = (tg^3(sin\;2x\cdot{cos\;2x}))'+(ln(e^{3x}+4x^2))'$

Найдем производную от каждого слагаемого.

$\displaystyle (tg^3(sin\;2x\cdot{cos\;2x}))'=$

$\boxed {\displaystyle (u^n)'=nu^{n-1}\cdot{u}'}$

$\displaystyle =3tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot{(tg(sin\;2x\cdot{cos\;2x}))'=$

$\boxed {\displaystyle (tg\;u)'=\frac{u'}{cos^2\;u} }$

$\displaystyle =3tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot\frac{(sin\;2x\cdot{cos\;2x})'}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})} =$

$\boxed {\displaystyle (uv)'=u'v+uv' }\;\;\;\;\;\boxed {(sin\;u)'=cos\;u\cdot{u'};\;\;\;(cos\;u)'=-sin\;u\cdot{u'}}$

$\displaystyle =3tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot\frac{(cos\;2x\cdot{(2x)'cos\;2x+sin\;2x(-sin\;2x)}\cdot{(2x)'}}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})} =$

$\boxed {\displaystyle (Cx)'=C}$

$\displaystyle =3tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot\frac{2cos^2\;2x-2sin^2\;2x}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})} =$

$\boxed {cos^2\alpha -sin^2\alpha =cos2\alpha }$

$\displaystyle =\frac{3tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot2cos\;4x}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})} =\frac{6tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot{cos\;4x}}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})}$

Найдем производную от второго слагаемого:

$\displaystyle (ln^4(e^{3x}+4x^2))'=4ln^3(e^{3x}+4x^2)\cdot{(ln(e^{3x}+4x^2))'}=$

$\boxed {\displaystyle (ln\;u)'=\frac{u'}{u} }$

$\displaystyle =4ln^3(e^{3x}+4x^2)\cdot{\frac{(e^{3x}+4x^2)'}{(e^{3x}+4x^2)} }=$

$\boxed {\displaystyle (e^u)'=e^u\cdot{u'}}$

$\displaystyle =4ln^3(e^{3x}+4x^2)\cdot{\frac{(e^{3x}\cdot{(3x)'}+4\cdot{2x})}{(e^{3x}+4x^2)} }=\\\\={\frac{4ln^3(e^{3x}+4x^2)(3e^{3x}+{8x})}{(e^{3x}+4x^2)} }$

Объединим решение:

$\displaystyle y'(x) =\frac{6tg^2(sin\;2x\cdot{cos\;2x})\cdot{cos\;4x}}{cos^2\;(sin\;2x\cdot{cos\;2x})}+{\frac{4ln^3(e^{3x}+4x^2)(3e^{3x}+{8x})}{(e^{3x}+4x^2)} }$

1.10   $\displaystyle (2x+3)\cdot{sin\;2y}-4sin\;2y+4ln\;3x^2+10x^3=0$

Производная неявной функции.

у - функция от х.

$\displaystyle (2x+3)'\cdot{sin\;2y}+ (2x+3)\cdot{(sin\;2y)'}-4\;cos\;2y\cdot(2y)'+4\cdot\frac{(3x^2)'}{3x^2} +10\cdot3x^2=0$

$\displaystyle 2{sin\;2y}+ (2x+3)\cdot{2cos\;2y\cdot{y'}}-8\;cos\;2y\cdot{y'}+\frac{24x}{3x^2} +30x^2=0$

Выражения с у' оставим слева, остальное перенесем вправо.

$\displaystyle (2x+3)\cdot{2cos\;2y\cdot{y'}}-8\;cos\;2y\cdot{y'}=-2{sin\;2y}-\frac{8}{x} -30x^2$

$\displaystyle y'((2x+3)\cdot{2cos\;2y}-8\;cos\;2y)=-2{sin\;2y}-\frac{8}{x} -30x^2\\\\y'=\frac{-2{sin\;2y}-\frac{8}{x} -30x^2}{(2x+3)\cdot{2cos\;2y}-8\;cos\;2y}$

$\displaystyle y'=\frac{2{sin\;2y}+\frac{8}{x} +30x^2}{8\;cos\;2y-2(2x+3)\cdot{cos\;2y}}$