Question

помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y=ln^2(4x-9)\cdot cos3x$  

Производная произведения:   $\bf (uv)'=u'v+uv'$  .

$y'=2\, ln(4x-9)\cdot \dfrac{4}{4x-9}\cdot cos3x+ln^2(4x-9)\cdot (-3sin3x)=\\\\\\=\dfrac{8\, ln(4x-9)}{4x-9}\cdot cos3x-3\, ln^3(4x-9)\cdot sin3x\ ;\\\\\\y''=\dfrac{8\cdot \dfrac{4}{4x-9}\cdot (4x-9)-8\, ln(4x-9)\\\cdot 4}{(4x-9)^2}\cdot cos3x-\dfrac{8\, ln(4x-9)}{4x-9}\cdot (-3sin3x)-\\\\\\-9ln^2(4x-9)\cdot \dfrac{4}{4x-9}\cdot sin3x-3\, ln^3(4x-9)\cdot 3\, cos3x\ ;$  

$2)\ \ \left\{\begin{array}{l}x(t)=9t^3+24t-\sqrt[3]{t^2}\\y(t)=e^{3t}\cdot sin2t\end{array}\right$  

Функция представлена в параметрическом виде :   $\bf y'_{x}=\dfrac{y'_{t}}{x'_{t}}$  .

$y'_{t}=3e^{3t}\cdot sin2t+e^{3t}\cdot 2\, cos2t\\\\x'_{t}=27t^2+24-\dfrac{2}{3}\cdot t^{^{-\frac{1}{3}}}=27t^2+24-\dfrac{2}{3\, \sqrt[3]{t}}\\\\\\y'_{x}=\dfrac{3e^{3t}\cdot sin2t+2\, e^{3t}\cdot cos2t}{27t^2+24-\dfrac{2}{3\, \sqrt[3]{t}}}=\dfrac{(3e^{3t}\cdot sin2t+2\, e^{3t}\cdot cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t}}{81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2}$    

Вторая производная в параметрическом виде    $\bf y''_{xx}=\dfrac{(y'_{t})'_{t}}{x'_{t}}$   .

$(y'_{t})'_{t}=\Big(\dfrac{e^{3t}\cdot (3\, sin2t+2\, \cdot cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t}}{81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2}\Big)'=\\\\\\=\Big[\Big(3e^{3t}\cdot (3\, sin2t+2\, cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t}+e^{3t}\cdot (6cos2t-4sin2x)\cdot 3\sqrt[3]{t}+\\\\+e^{3t}(3\, sin2x++2\, cos2t)\cdot t^{^{-\frac{2}{3}}}\Big)\cdot (81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2})-$

$-(e^{3t}\cdot (3\, sin2t+2\, \cdot cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t})\cdot (81\cdot \frac{7}{3}\cdot t^{\frac{4}{3}}+72\cdot \frac{1}{3}\cdot t^{-\frac{2}{3}})\Big]\cdot \dfrac{1}{(81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2)^2}$  

Затем это выражение записать в числитель дроби , а в знаменателе дроби записать выражение для  $x'_{t}$  , получим вторую производную .

$y''_{xx}=\Big(\dfrac{e^{3t}\cdot (3\, sin2t+2\, \cdot cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t}}{81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2}\Big)'=\\\\\\=\Big[\Big(3e^{3t}\cdot (3\, sin2t+2\, cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t}+e^{3t}\cdot (6cos2t-4sin2x)\cdot 3\sqrt[3]{t}+\\\\+e^{3t}(3\, sin2x++2\, cos2t)\cdot t^{^{-\frac{2}{3}}}\Big)\cdot (81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2})-$

$-(e^{3t}\cdot (3\, sin2t+2\, \cdot cos2t)\cdot 3\sqrt[3]{t})\cdot (81\cdot \frac{7}{3}\cdot t^{\frac{4}{3}}+72\cdot \frac{1}{3}\cdot t^{-\frac{2}{3}})\Big]\cdot \dfrac{1}{(81\sqrt[3]{t^7}+72\sqrt[3]{t}-2)^3}$