Question

Скориставшись визначенням, знайди похідну функції в точці x:

y=9x2+2x.

Опиши кроки розв'язку:

1. f(x)=_x^2+_x
2. f(x+Δx)=_x^2+_x⋅Δx+_⋅(Δx)^2+_x+_Δ
3. Δy=_x⋅Δx+_(Δx)^2+_⋅Δx
4. Δy/Δx=_x+_⋅Δx+_
5. f′(x)=_x+_​

Answer 1

Ответ:

Cм. вложение.

Пошаговое объяснение:

Воспользовавшись определением, найди производную функции в точке x:

y=9x²+2x.

Опиши шаги:

1. f(x)=_x²+_x

2. f(x+Δx)=_x²+_x⋅Δx+_⋅(Δx)²+_x+_Δ

3. Δy=_x⋅Δx+_(Δx)²+_⋅Δx

4. Δy/Δx=_x+_⋅Δx+_

5. f′(x)=_x+_​

• Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует.

$\boxed {\displaystyle \bf f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} }$

1.

$\displaystyle \bf f(x)=9x^2+2x$

2.

$\displaystyle \bf f(x+\Delta{x})=9(x+\Delta{x})^2+2(x+\Delta{x})=\\\\=9(x^2+2x\Delta{x}+\Delta{x^2})+2(x+\Delta{x})=\\\\=9x^2+18x\Delta{x+9\Delta{x}^2}+2x+2\Delta{x}$

3.

$\displaystyle \bf \Delta{y}=f(x+\Delta{x)}-f(x) =\\\\=9x^2+18x\Delta{x}+9\Delta{x}^2+2x+2\Delta{x}-9x^2-2x=\\\\=18x\Delta{x}+9\Delta{x}^2+2\Delta{x}$

4.

$\displaystyle \bf \frac{\Delta{y} }{\Delta{x}} =\frac{18x\Delta{x}+9\Delta{x}^2+2\Delta{x}}{\Delta{x}} =18x+9\Delta{x}+2$

5.

$\displaystyle \bf f'(x)= \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{\Delta{y} }{\Delta{x}} =18x+9\Delta{x}+2=18x+2$