Question

Помогите решить интегралы номер 28 б в г, срочно надо

Answer 1

Ответ:

$\int\limits {\frac{dx}{x(ln^{2} x+1)} } =arctg(lnx)+C$

$\int\limits {\frac{lnx}{x^{4} } } \, dx =-\frac{lnx}{3x^{3} } -\frac{1}{9x^{3} } +C$

$\int\limits {\frac{x^{3} +x^{2} -5}{x^{2} -3x+2} } \, dx =\frac{x^{2} }{2}+4x+3ln|x-1|+7ln|x-2|+C$

Пошаговое решение:

б) $\int\limits {\frac{dx}{x(ln^{2} x+1)} } =\int\limits {\frac{\frac{dx}{x} }{ln^{2} x+1} } =\int\limits {\frac{d(lnx)}{1+(lnx)^{2} } } =arctg(lnx)+C$.

в) $\int\limits {\frac{lnx}{x^{4} } } \, dx = (*)$

тут воспользуемся интегрированием по частям:

$\int\limits {u} \, dv=uv-\int\limits {v} \, du$

Обозначим lnx как u, а остальное как dv

$u=lnx$                  $du=\frac{dx}{x}$

$dv={\frac{1}{x^{4} } } \, dx$             $v=\int\limits {\frac{1}{x^{4} } } \, dx =\int\limits {x^{-4} } \, dx =\frac{x^{-4+1} }{-4+1} =-\frac{x^{-3} }{3} =-\frac{1}{3x^{3} }$

Теперь применим и получим:

$(*)=lnx*(-\frac{1}{3x^{3} } )-\int\limits {-\frac{1}{3x^{3} } } \, \frac{dx}{x} =-\frac{lnx}{3x^{3} } +\frac{1}{3} \int\limits {\frac{1}{x^{4} } } \, dx =-\frac{lnx}{3x^{3} } +\frac{1}{3} \int\limits x^{-4} \, dx =$

$=-\frac{lnx}{3x^{3} } +\frac{1}{3} *\frac{x^{-4+1} }{-4+1} =-\frac{lnx}{3x^{3} } +\frac{1}{3} *\frac{x^{-3} }{-3} =-\frac{lnx}{3x^{3} } -\frac{1}{9x^{3} } +C$.

г) $\int\limits {\frac{x^{3} +x^{2} -5}{x^{2} -3x+2} } \, dx =(*)$

под интегралом стоит неправильная дробно-рациональная функция, потому что старшая степень в числителе больше чем старшая степень в знаменателе: 3 > 2.

Чтобы решить такой интеграл делим числитель на знаменатель:

x³ + x² - 5                  | x² - 3x + 2

x³ -3x² +2x                | x + 4

    4x² - 2x - 5           |

    4x² - 12x + 8         |

             10x - 13        |

Получили х + 4 и остаток 10х - 13. Преобразуем наш интеграл:

$(*)=\int\limits {(x+4 +\frac{10x-13}{x^{2} -3x+2} )} \, dx = \int\limits {x} \, dx +\int\limits {4} \, dx +\int\limits {\frac{10x-13}{x^{2} -3x+2} } \, dx =$$=\frac{x^{2} }{2}+4x +\int\limits {\frac{10x-13}{(x-1)(x-2)} } \, dx =(*)$

Теперь нашу подынтегральную дробь разложим:

$\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x-2} =\frac{10x-13}{(x-1)(x-2)}$,

надо найти коэффициенты А и В. В левую часть приводим к общему знаменателю:

$\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)} =\frac{10x-13}{(x-1)(x-2)}$

$\frac{Ax-2A+Bx-B}{(x-1)(x-2)} =\frac{10x-13}{(x-1)(x-2)}$

Знаменатели сокращаются и остаются

$Ax-2A+Bx-B=10x-13$

$(A+B)x-2A-B=10x-13$

Откуда составляем систему уравнений и решим ее, чтобы найти коэффициенты А и В:

$\left \{ {{A+B=10} \atop {-2A-B=-13}} \right.$

$A=10-B$

$-2(10-B)-B=-13$

$-20+2B-B=-13$

$B=-13+20$

$B=7$          $A=10-B=10-7=3$

Подынтегральная дробь примет вид

$\frac{10x-13}{(x-1)(x-2)}=\frac{3}{x-1} +\frac{7}{x-2}$,

подставляем ее под интеграл и получим решение:

$(*)=\frac{x^{2} }{2}+4x +\int\limits {(\frac{3}{x-1} +\frac{7}{x-2}} )\, dx =\frac{x^{2} }{2}+4x +\int\limits {\frac{3}{x-1} \, dx +\int\limits {\frac{7}{x-2}} \, dx =$

$=\frac{x^{2} }{2}+4x+3\int\limits {\frac{d(x-1)}{x-1} +7\int\limits {\frac{d(x-2)}{x-2}} =\frac{x^{2} }{2}+4x+3ln|x-1|+7ln|x-2|+C$.