Question

Розв'язати рівняння:.

Answer 1

Ответ:  x = -1

Объяснение:

$\displaystyle \sqrt{x+2}+\sqrt{3-x} =\sqrt{5-4x}$

ОДЗ :

$\left \{ \begin{array}{l} x+2\geqslant 0 \\ 3-x\geqslant 0\\ 5-4x\geqslant 0 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x\geqslant -2 \\ x\leqslant 3\\ x\leqslant 1,25\end{array} \Leftrightarrow x\in [-2 ~~;~~ 1,\!25]$

Возведем обе части в квадрат

$\displaystyle (\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x})^2 =(\sqrt{5-4x})^2 \\\\ x+2 +2\sqrt{(x+2)(3-x)}+ 3 -x=5-4x \\\\ 5+2\sqrt{-x^2 +x+6} = 5 -4x \\\\ 2\sqrt{-x^2 +x+6} = -4x ~~ \big | : 2 ~~ ;~~x\leqslant 0\\\\ (\sqrt{-x^2 + x + 6} )^2= (- 2x) ^2 \\\\ -x^2 + x + 6 = 4x^2 \\\\ 5x^2 - x-6 =0$

Если у квадратного уравнения  ax² + bx + c =0

a  - b  + c = 0  ⇒  одним из корней является    - 1

Т.к     5 - (-1) - 6 =0  ⇒ x₁ = - 1 ,   a  x₂ найдем    по теореме Виета  

$x_1 \cdot x_2= -\dfrac{6}{5} \\\\ (-1) \cdot x_2 =- \dfrac{6}{5} \\\\ x_2 = 1,2 \geqslant -1 ~~\varnothing$

Ввиду ограничения  x ≤ 0 ,  у нашего уравнения имеется только корень x = - 1