Question

треугольник с координатами А(2;-5) В(4;5) С(12;1)
Нужно решить треугольник
1. Составить уравнение стороны АВ
2. Составить уравнение медианы АЕ
3. Составить уравнение высоты CD
4. Вычислить длину высоты CD
5. Вычислить длину медианы АЕ
Помогите пожалуйста, а то завтра я труп

Answer 1

Треугольник с координатами

А(2;-5), В(4;5), С(12;1).

1. Составить уравнение стороны АВ.

Составим каноническое уравнение прямой  АВ.

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

( x - xa) / (xb - xa)  =   (y - ya) / (yb - ya).  

Подставим в формулу координаты точек А и В:

( x - 2) / (4 - 2)  =   (y + 5) / (5 + 5).  

В итоге получено каноническое уравнение прямой:

(x - 2) / 2  =   (y + 5) /10.

Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой общего вида: 10х – 20 = 2у + 10 или 10х – 2у – 30 = 0, после сокращения на 2 уравнение стороны АВ имеет вид

5х – у – 15 = 0.

2. Составить уравнение медианы АЕ.

Находим координаты точки Е (основание медианы) как середину стороны ВС: Е = (В(4; 5) + С(12; 1))/2 = (8; 3).

Вектор AE = (8-2; 3-(-5)) = (6; 8).

Уравнение AE: (x - 2)/6 = (y + 5)/8

Оно же в общем виде 8x – 16 = 6y + 30.

8x – 6y – 46 = 0, после сокращения на 2 уравнение имеет вид

4x – 3y – 23 = 0.

3. Составить уравнение высоты CD.

В уравнении высоты CD из точки CА на сторону AВ, представленной в виде Ax + By + C = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А (или В и (-А).

Уравнение АВ: 5х – у – 15 = 0.

Получаем уравнение CD: x + 5y + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С(12; 1):

12 + 5*1 + С = 0, отсюда С = -12 - 5 = -17.

Уравнение CD: x + 5y - 17 = 0.

4. Вычислить длину высоты CD.

Длину высоты CD можно определить несколькими способами.

а) найти координаты точки D как точку пересечения высоты CD и стороны АВ.

CD: x + 5y - 17 = 0,               x + 5y - 17 = 0,

АВ: 5х – у – 15 = 0 |x5| = 25х – 5у – 75 = 0

                                         26x         - 92 = 0, x = 92/26 = 46/13.

y = 5x – 15 = 5*(46/13) – 15 = (230 – 195)/13 = 35/13.

Точка D((46/13); (35/13)), точка С(12;1).

Вектор CD = ((46/13) - 12; (35/13) – 1) = (46 – 156)/13; (35 – 13)/13) =

                  = ((-110/13); (22/13)).

Длина  CD = √((-110/13)² + (22/13)²)  = √((12100/169) + (484/169)) = √12584/13 ≈ 8,62911.

б) по формуле площади треугольника.

Длины сторон и векторы    

АВ  ВС  АС

Δx Δy Δx Δy Δx Δy

2 10 8 -4 10 6

4 100 64 16 100 36

104  80  136

АВ (c) = √104 ≈ 10,1980    

ВС(a) = √80 ≈ 8,9443        

АС (b) = √136 ≈ 11,6619

Периметр Р =  30,8042  

Полупериметр р =  15,4021.

Находим площадь по формуле Герона.

Площадь S = 44.

Тогда CD = 2S/AB = 2*44/√104 ≈ 88/10,19804 ≈ 8,62911.

в) векторным способом.

Находится площадь треугольника:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| =  44 и далее

CD = 2S/AB = 2*44/√104 ≈ 88/10,19804 ≈ 8,6291.

5. Вычислить длину медианы АЕ.

Координаты точки Е как середину отрезка ВС найдены в п. 2: (8; 3).

Вектор АЕ = Е(8; 3) - А(2; -5) = (6; 8).

Длина  АЕ = √(6² + 8²)  = √(36 + 64) = √100 = 10.