треугольник с координатами А(2;-5) В(4;5) С(12;1)
Нужно решить треугольник
1. Составить уравнение стороны АВ
2. Составить уравнение медианы АЕ
3. Составить уравнение высоты CD
4. Вычислить длину высоты CD
5. Вычислить длину медианы АЕ
Помогите пожалуйста, а то завтра я труп
Ответы
Треугольник с координатами
А(2;-5), В(4;5), С(12;1).
1. Составить уравнение стороны АВ.
Составим каноническое уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
( x - xa) / (xb - xa) = (y - ya) / (yb - ya).
Подставим в формулу координаты точек А и В:
( x - 2) / (4 - 2) = (y + 5) / (5 + 5).
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
(x - 2) / 2 = (y + 5) /10.
Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой общего вида: 10х – 20 = 2у + 10 или 10х – 2у – 30 = 0, после сокращения на 2 уравнение стороны АВ имеет вид
5х – у – 15 = 0.
2. Составить уравнение медианы АЕ.
Находим координаты точки Е (основание медианы) как середину стороны ВС: Е = (В(4; 5) + С(12; 1))/2 = (8; 3).
Вектор AE = (8-2; 3-(-5)) = (6; 8).
Уравнение AE: (x - 2)/6 = (y + 5)/8
Оно же в общем виде 8x – 16 = 6y + 30.
8x – 6y – 46 = 0, после сокращения на 2 уравнение имеет вид
4x – 3y – 23 = 0.
3. Составить уравнение высоты CD.
В уравнении высоты CD из точки CА на сторону AВ, представленной в виде Ax + By + C = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А (или В и (-А).
Уравнение АВ: 5х – у – 15 = 0.
Получаем уравнение CD: x + 5y + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки С(12; 1):
12 + 5*1 + С = 0, отсюда С = -12 - 5 = -17.
Уравнение CD: x + 5y - 17 = 0.
4. Вычислить длину высоты CD.
Длину высоты CD можно определить несколькими способами.
а) найти координаты точки D как точку пересечения высоты CD и стороны АВ.
CD: x + 5y - 17 = 0, x + 5y - 17 = 0,
АВ: 5х – у – 15 = 0 |x5| = 25х – 5у – 75 = 0
26x - 92 = 0, x = 92/26 = 46/13.
y = 5x – 15 = 5*(46/13) – 15 = (230 – 195)/13 = 35/13.
Точка D((46/13); (35/13)), точка С(12;1).
Вектор CD = ((46/13) - 12; (35/13) – 1) = (46 – 156)/13; (35 – 13)/13) =
= ((-110/13); (22/13)).
Длина CD = √((-110/13)² + (22/13)²) = √((12100/169) + (484/169)) = √12584/13 ≈ 8,62911.
б) по формуле площади треугольника.
Длины сторон и векторы
АВ ВС АС
Δx Δy Δx Δy Δx Δy
2 10 8 -4 10 6
4 100 64 16 100 36
104 80 136
АВ (c) = √104 ≈ 10,1980
ВС(a) = √80 ≈ 8,9443
АС (b) = √136 ≈ 11,6619
Периметр Р = 30,8042
Полупериметр р = 15,4021.
Находим площадь по формуле Герона.
Площадь S = 44.
Тогда CD = 2S/AB = 2*44/√104 ≈ 88/10,19804 ≈ 8,62911.
в) векторным способом.
Находится площадь треугольника:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 44 и далее
CD = 2S/AB = 2*44/√104 ≈ 88/10,19804 ≈ 8,6291.
5. Вычислить длину медианы АЕ.
Координаты точки Е как середину отрезка ВС найдены в п. 2: (8; 3).
Вектор АЕ = Е(8; 3) - А(2; -5) = (6; 8).
Длина АЕ = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.