Question

Математика даю 100 балов за решеніе задачі на картінке частина(4)

Answer 1

Ответ:

Площадь меньшего диагонального сечения равна  $\displaystyle \frac{\sqrt{4b^2-a^4} }{2}$  см².

Пошаговое объяснение:

Основание пирамиды - квадрат с периметром 4а см. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания. Площадь большего диагонального сечения равна b. Найдите площадь меньшего диагонального сечения.

Дано: SABCD - пирамида;

АSB ⊥ ABCD; BSC ⊥ ABCD;

ABCD  - квадрат;

P(ABCD) = 4a см;

Площадь большего диагонального сечения равна b см².

Найти: площадь меньшего диагонального сечения.

Решение:

• Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

У нас два диагональных сечения: ΔACS и ΔBCD.

Определим, какое из них большее.

Рассмотрим ABCD  - квадрат.

P(ABCD) = 4a см ⇒ сторона основания равна а.

• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АC = BD = a√2 (см)

Рассмотрим ΔBCD.

• Если две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения есть перпендикуляр к этой плоскости.

⇒ SB ⊥ ABCD

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой этой плоскости.

⇒ SB ⊥ BD.

ΔBSD - прямоугольный.

⇒   $\displaystyle S(BSD) = \frac{1}{2} BD \cdot{ SB}=\frac{a\sqrt{2} }{2} \cdot SB$

Рассмотрим ΔASC.

BO ⊥ AC

• Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

⇒ SO ⊥ AC

$\displaystyle S(ASC)=\frac{1}{2}AC\cdot SO=\frac{a\sqrt{2} }{2} \cdot SO$

Так как SB < SO (перпендикуляр и наклонная), то большее сечение - ΔASC.

$\displaystyle \Rightarrow \frac{a\sqrt{2} }{2} \cdot SO = b\\\\SO = \frac{2b}{a\sqrt{2} } =\frac{b\sqrt{2} }{a}$   (см)

Найдем SB.

Рассмотрим ΔBSO - прямоугольный.

$\displaystyle BO=\frac{a\sqrt{2} }{2}$  см.

SB² = SO² - BO²

$\displaystyle SB^2=\frac{2b^2}{a^2}-\frac{2a^2}{4}=\frac{8b^2-2a^4}{4a^2} \\\\SB=\sqrt{\frac{8b^2-2a^4}{4a^2} } =\frac{\sqrt{2(4b^2-a^4)} }{2a}$   (см)

Теперь можем найти площадь.

$\displaystyle S(BSD) =\frac{a\sqrt{2} }{2} \cdot SB=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{4b^2-a^4} }{2\cdot2a} =\frac{\sqrt{4b^2-a^4} }{2}$ (см²)