Question

Срочно!!! sin2a, tg(a+п/6) если sina=1/3 на промежутке (0;п/2)

Answer 1

Ответ:

Применяем основное тригонометрическое тождество и формулу

тангенса суммы:   $\bf sin^2a+cos^2a=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ cos^2a=\pm \sqrt{1-sin^2a}\ \ ,$

 $\boldsymbol{tg(\alpha +\beta )=\dfrac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }}$   .

$\displaystyle sina=\dfrac{1}{3}\ \ ,\\\\a\in \Big(\ 0\ ;\ \frac{\pi }{2}\ \Big)\ \ \Rightarrow \ \ \ cosa > 0\ ,\ tga > 0\\\\cosa=+\sqrt{1-sin^2a}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt2}{3}\\\\\boldsymbol{sin2a}=2\cdot sina\cdot cosa=2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\boldsymbol{\frac{4\sqrt2}{9}}\\\\\\tga=\frac{sina}{cosa}=\frac{1/3}{2\sqrt2/3}=\frac{1}{2\sqrt2}$    

$\displaystyle \boldsymbol{tg\Big(a+\frac{\pi }{6}\Big)}=\frac{tga+tg\frac{\pi }{6}}{1-tga\cdot tg\frac{\pi }{6}}=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}}{1-\dfrac{1}{2\sqrt2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt3}}=\frac{\dfrac{\sqrt3+2\sqrt2}{2\sqrt6}}{\dfrac{2\sqrt6-1}{2\sqrt6}}=\frac{3+2\sqrt2}{2\sqrt6-1}=\\\\\\=\frac{(3+2\sqrt2)\cdot (2\sqrt6+1))}{(2\sqrt6-1)\cdot (2\sqrt6+1)}=\frac{6\sqrt6+3+4\sqrt{12}+2\sqrt2}{4\cdot 6-1}=\boldsymbol{\frac{6\sqrt6+3+8\sqrt{3}+2\sqrt2}{23}}$