Question

Визначити максимум і мінімум функції

Answer 1

Ответ:

Точка (1;1) - точка локального максимума функции y.

Точка $\boldsymbol{\bigg (-\dfrac{1}{6} ; -\dfrac{235}{108} \bigg )}$ - точка локального минимума функции y.

Примечание:

По таблице производных:

$\boxed{(x^{n})' = nx^{n - 1}}$

Пошаговое объяснение:

$y = -4x^{3} + 5x^{2} + 2x - 2$

$y' = (-4x^{3} + 5x^{2} + 2x - 2)' = -12x^{2} + 10x + 2$

$y' = 0$

$-12x^{2} + 10x + 2 = 0|\cdot (-0,5)$

$6x^{2} -5x - 1 =0$

$D = 25 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^{2}$

$x_{1} = \dfrac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{12}{12} =1$

$x_{2} = \dfrac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{-2}{2 \cdot 6} =-\dfrac{1}{6}$

$y'' = (y')' = (-12x^{2} + 10x + 2)' = -24x + 10$

$y'' (1) = -24 \cdot 1 + 10 = -24 + 10 = -14 < 0$

Так как $y''(1) < 0$, то при x = 1 функция имеет локальный максимум.

$y'' \bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg ) = -24 \cdot \bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg ) + 10 = 4 + 10 = 14 > 0$

Так как $y''\bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg ) > 0$, то при x = $-\dfrac{1}{6} \bigg$  функция имеет локальный минимум.

$y \bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg )=-4 \cdot \bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg )^{3} + 5 \cdot \bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg )^{2} + 2 \cdot \bigg ( -\dfrac{1}{6} \bigg ) - 2 =$

$= \dfrac{4}{216} + \dfrac{5}{36} - \dfrac{2}{6} - 2 = \dfrac{1}{54} + \dfrac{5}{36} - \dfrac{1}{3} - 2= \dfrac{2 +15 - 36 -216}{108} = -\dfrac{235}{108}$

$y(1) =-4 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2 = -4 + 5 + 2 - 2 = 5 - 4 = 1$

Точка (1;1) - точка локального максимума функции y.

Точка $\bigg (-\dfrac{1}{6} ; -\dfrac{235}{108} \bigg )$ - точка локального минимума функции y.