Question

У трикутнику АВС проведено висоту AD, з точки D опущено перпендикуляр DN на сторону АС (рис. 3). Знайдіть площу трикутника АВС, якщо AD = 5 см, DN = 3 см, кут BAD = b

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника АВС равна $\displaystyle \frac{100\;tg\beta +75}{8}$  cм².

Объяснение:

В треугольнике АВС проведена высота AD, из точки D опущен перпендикуляр DN на сторону АС (рис. 3). Найдите площадь треугольника АВС, если AD = 5 см, DN = 3 см, угол BAD = β.

Дано: ΔАВС;

АD - высота;

DN ⊥ AC;

AD = 5 см, DN = 3 см, угол BAD = β.

Найти: S(ABC)

Решение:

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

1. Рассмотрим ΔDAB - прямоугольный.

• Тангенс  - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle \Rightarrow \frac{DB}{AD}=tg\beta \\ \\DB=AD\cdot tg\beta =5\;tg\beta$   (см)

$\displaystyle S(DAB)=\frac{1}{2}DB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 5tg\beta \cdot5=\frac{25}{2} \; tg\beta$   (см²)

2. Рассмотрим ΔNAD - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем AN:

AN² = AD² - ND² = 25 - 9 = 16

AN = √16 = 4 (см)

3. Рассмотрим ΔCAD - прямоугольный.

DN ⊥ AC.

• Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

AD² = AN · AC

25 = 4 · AC

$\displaystyle AC=\frac{25}{4}$   (см)

$\displaystyle S(ACD)=\frac{1}{2}AC\cdot ND=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{4}\cdot3=\frac{75}{8}$   (см²)

4. Площадь ΔАВС можно найти как сумму площадей ΔADB и ΔACD:

$\displaystyle S(ABC)=S(ADB)+S(ACD)=\frac{25\;tg\beta }{2} +\frac{75}{8}=\\ \\=\frac{100\;tg\beta +75}{8}\;\;\;_{(CM^2)}$

#SPJ1