Question

ПОМОГИТЕ ПО ВЫШМАТУ 100 БАЛЛОВ!
Вычислить определенные интегралы, применив указанные подстановки

Answer 1

Ответ:

$4 \\ ∫ \sqrt{16 - 4sin ^{2} (t)} dx = 8 \sqrt{4 - sin ^{2}(t) } \\ 0$

$\frac{16 \sqrt[4]{3} \sqrt{ - i( \div - t + \pi - sin ^{ - 1}(2)) } \sqrt{t - \pi + sin ^{ - 1} (2)} }{ \sqrt{t - \pi + sin ^{ - 1} (2)} } - \frac{14i \sqrt{ - i( - t + \pi - sin ^{ - 1} (2))} (t - \pi + sin ^{ - 1} (2)) ^{ \frac{3}{2} } }{ \sqrt[4]{3} \sqrt{t - \pi + sin ^{ - 1}(2) } } - \frac{79 \sqrt{ - i( - t + \pi - sin ^{ - 1} (2))} (t - \pi + sin ^{ - 1} (2)) ^{ \frac{5}{2} } }{8( {3}^{ \frac{3}{4} } \sqrt{t - \pi + sin {}^{ - 1}(2) } )}$

$16 - 2 {t}^{2} + \frac{13 {t}^{4} }{24} + O( {t}^{5} )$

$∫ \sqrt{16 - 4sin ^{2}(t) } dx = x \sqrt{16 - 4sin ^{2}(t) } + C$

Answer 2

Ответ: 4π

Решение с объяснением:

$\int\limits^4_0 {\sqrt{16-x^{2} } } \, dx =(*)$

Воспользуемся следующей заменой:

$x=4sint$           $dx=4cost*dt$

$(*)=\int\limits^4_0 {\sqrt{16-(4sint)^{2} } } \, *4costdt =\int\limits^4_0 {\sqrt{16-16sin^{2} t} } \, *4costdt =$

$=4\int\limits^4_0 {\sqrt{16(1-sin^{2} t)} } \, costdt =4\int\limits^4_0 {4\sqrt{cos^{2} t} } \, costdt =4*4\int\limits^4_0 {cost*} \, costdt =$

$=16\int\limits^4_0 {cos^{2} t} \, dt =(*)$

Теперь понижаем степень cos²t по формуле

$cos^{2} t=\frac{1+cos2t}{2}=\frac{1}{2} +\frac{cos2t}{2}$,

подставляем под интеграл:

$(*)=16\int\limits^4_0 {(\frac{1}{2} +\frac{cos2t}{2})} \, dt =16(\int\limits^4_0 {\frac{1}{2} } \, dt +\int\limits^4_0 {\frac{cos2t}{2}} \, dt )=16(\frac{1}{2} t|^4_0 +\int\limits^4_0 {\frac{cos2t}{2*2}} \, d(2t))=$

$=16(\frac{1}{2} t|^4_0 +*\frac{1}{4} \int\limits^4_0 {cos2t} \, d(2t)=16(\frac{1}{2} t|^4_0 +\frac{1}{4} sin2t|^4_0 )=(*)$

Теперь t заменим обратно на х:

$x=4sint$   ⇒   $\frac{x}{4} =sint$   ⇒   $t=arcsin(\frac{x}{4} )$

$(*)=16(\frac{1}{2} arcsin(\frac{x}{4} )|^4_0 +\frac{1}{4} sin(2arcsin(\frac{x}{4}) )|^4_0 )=8arcsin(\frac{x}{4} )|^4_0 +4sin(2arcsin(\frac{x}{4}) )|^4_0 =$

Преобразуем  второй член:

arcsinx = k    x = sink

sin(2arcsinx) = sin2k = 2sink∙cosk

cos²k + sin²k = 1     ⇒    cosk = $\sqrt{1-sin^{2} k}$ = $\sqrt{1-x^{2} }$

$sin(2arcsinx) = 2x\sqrt{1-x^{2} }$

Применим преобразование:

$=8arcsin(\frac{x}{4} )|^4_0 +4*2*\frac{x}{4} \sqrt{1-(\frac{x}{4} )^{2} } |^4_0 =8arcsin(\frac{x}{4} )|^4_0 +2x\sqrt{1-\frac{x^{2} }{16}} |^4_0 =$

$=8arcsin(\frac{x}{4} )|^4_0 +2x*\frac{1}{4} \sqrt{16-x^{2}} |^4_0 =8arcsin(\frac{x}{4} )|^4_0 +\frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} |^4_0 =$

$=8(arcsin(\frac{4}{4} )-arcsin(\frac{0}{4} ))+\frac{4}{2} \sqrt{16-4^{2}} -\frac{0}{2} \sqrt{16-0^{2}} =8(arcsin(1)-arcsin(0)) +$

$+0-0=8(arcsin(1)-arcsin(0)) =8(\frac{\pi }{2} -0) =8*\frac{\pi }{2} =4\pi$.