Question

Метод Гаусса, первый курс, помогите прошу, дам 80 баллов​

Answer 1

Ответ: х₁ = 5

             х₂ = -3х₄

             х₃ = 0

             х₄ = t (t принимает любые значения)

Пошаговое решение: составим расширенную матрицу

$\left[\begin{array}{cccccc}-3&1&4&3&|&-15\\4&-1&-3&-3&|&20\\-7&2&-7&6&|&-35\\-2&1&5&3&|&-10\end{array}\right]$

Теперь сделаем так, чтобы все числа ниже главной диагонали были нулями. Для начало, (1) строку добавим (4) и запишем вместо первой строки. Затем 4 умножаем к (1) строку и отнимаем (2) и запишем вместо (2) строки:

$\left[\begin{array}{cccccc}-3&1&4&3&|&-15\\4&-1&-3&-3&|&20\\-7&2&-7&6&|&-35\\-2&1&5&3&|&-10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\4&-1&-3&-3&|&20\\-7&2&-7&6&|&-35\\-2&1&5&3&|&-10\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&7&3&|&0\\-7&2&-7&6&|&-35\\-2&1&5&3&|&-10\end{array}\right]=(*)$

к (1) строке умножаем 7 и добавляем (3), результат запишем вместо (3) строки, затем 2 умножаем (1) строке и добавляем (4) строку, запишем результат вместо (4) строки:

$(*)=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&7&3&|&0\\0&2&0&6&|&0\\-2&1&5&3&|&-10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&7&3&|&0\\0&2&0&6&|&0\\0&1&7&3&|&0\end{array}\right]=(*)$

От (4) строки отнимаем (2) строку и запишем результат вместо (4) строки. Затем (3) делим на 14 и отнимаем от (2) строки (3) строку умноженную на 7:

$(*)=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&7&3&|&0\\0&0&14&0&|&0\\0&1&7&3&|&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&7&3&|&0\\0&0&14&0&|&0\\0&0&0&0&|&0\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&7&3&|&0\\0&0&1&0&|&0\\0&0&0&0&|&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&|&5\\0&1&0&3&|&0\\0&0&1&0&|&0\\0&0&0&0&|&0\end{array}\right]$

Пойдем обратный ходом. Из четвертой строки видим, что х₄ является свободной переменной. Значит, система имеет множество решений. Найдем остальные переменные:

х₃ = 0

х₂ + 3х₄ = 0    ⇒    х₂ = -3х₄   зависит от х₄ (свободная переменная)

х₁ + х₃ = 5       ⇒    х₁ + 0 = 5    ⇒    х₁ = 5

Переменные равны: х₁ = 5

                                       х₂ = -3х₄

                                       х₃ = 0