Question

Упростите, срочно даю 25 баллов

$\frac{\sqrt{2}-sin \alpha -cos\alpha }{sin \alpha -cos\alpha}$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\sqrt2-sina-cosa}{sina-cosa}=\dfrac{\sqrt2-(sina+cosa)}{sina-cosa}$    

Отдельно преобразуем выражение в числителе и знаменателе, применив формулу синуса суммы и синуса разности.

$sina+cosa=sina+sin(90^\circ -a)=2\, sin45^\circ \cdot cos(a-cos45^\circ )=\sqrt2\, cos(a-45^\circ )\\\\sina-cosa=sina-sin(90^\circ -a)=2\, cos45^\circ \cdot sin(a-cos45^\circ )=\sqrt2\, sin(a-45^\circ )$

$\dfrac{\sqrt2-(sina+cosa)}{sina-cosa}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt2cos(a-45^\circ )}{\sqrt2cos(a-45^\circ )}=\dfrac{1}{cos(a-45^\circ )}-ctg(a-45^\circ )=\\\\\\=\boldsymbol{\dfrac{1}{cos\Big(a-\dfrac{\pi }{4}\Big)}-ctg\Big(a-\dfrac{\pi }{4}\Big)}$