Question

Найдите наибольшее натуральное число n при котором выражение n^2+6n-23 является полным квадратом

Answer 1

$n^2+6n-23=(n^2+6n+9)-32=(n+3)^2-32$

Пускай $(n+3)^2-32=m^2$

$(n+3)^2-32=m^2\\(n+3)^2-m^2=32,\\(n+3-m)(n+3+m)=32$

Получили произведение двух скобок равных $32$. В конечном итоге, решая это уравнение в натуральных числах получаем такие решения:

$m=7, n=6; \\m=-7, n=6\\m=2, n=3\\m=-2, n=3$

Таким образом, максимальное $n$ равно $6$