Дані координати вершин піраміди А1(3;1;-2), А2(1;-2;1), А3(-2;1;0), А4(2;2;5). Треба знайти: 1 )кут між ребрами А1А2 та А1А4
2) проекцію вектора A1A3 на вектор A1A4 ;
3) площу грані A1A2A3;
4) обєм піраміди, довжину її висоти, та
рівняння цієї висоти, вважаючи вершиною точку A4;
5) кут між
ребром А1А4 і гранню A1A2A3;
6) рівняння прямої A1A2 і
рівняння площини A1A2A3. Зробити схематичний рисунок

Ответы

Ответ дал: dnepr1

Дані координати вершин піраміди:

А1(3;1;-2), А2(1;-2;1), А3(-2;1;0), А4(2;2;5). Треба знайти:

1) кут між ребрами А1А2 та А1А4.

Находим векторы:

А1А2 = (1-3; -2-1; 1-(-2)) = (-2; -3; 3),

его модуль равен √((-2)² + (-3) ² + 3²) = √(4 + 9 + 9) = √22.

А1А4 = (2-3; 2-1; 5-(-2)) = (-1; 1; 7),

его модуль равен √((-1)² + 1 ² + 7²) = √(1 + 1 + 49) = √51.

cos A1 = ((-2)*(-1) + (-3)*1 + 3*7)/(√22 *√51) = 20/√1122 ≈ 20/33,496268 ≈ 0,597081.

Угол А2А1А4 = arccos 0,597081 = 0,930938 радиан или 53,33884 градуса.

2) проекцію вектора A1A3 на вектор A1A4.

Находим вектор А1А3 = (-2-3; 1-1; 0-(-2)) = (-5; 0; 2).

Вектор А1А4 = (-1; 1; 7, его модуль равен √51.

Пр А1А3_ А1А4 = ((-5)*(-1)+0*1+2*7)/ √51 = 19/√51 = 19√51/51 ≈ 2,66053.

3) площу грані A1A2A3.

Площадь грани как треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов A1A2 и A1A3.

A1A2 х A1A3 =

i j k | i j

-2 -3 3 | -2 -3

-5 0 2 | -5 0 = -6i – 15j + 0k + 4j - 0i – 15k =

= -6i – 11j – 15k.

S (A1A2A3) = (1/2)√((-6)² + (-11)² + (-15)²) = (1/2)√(36 + 121 + 225) = (1/2)√382 ≈ 9,77241 кв. ед.

4) обєм піраміди, довжину її висоти, та рівняння цієї висоти, вважаючи вершиною точку A4;

Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (A1A2 х A1A3)*A1A4.

Используем найденные значения.

(A1A2 х A1A3) = -6 – 11 – 15

А1А4 = -1 1 7

6 + (-11) + (-105) = -110.

V = (1/6)*110 = (55/3) куб. ед.

h(А4) = 3V/S(ABC)=3⋅(55/3)/((1/2)√382) = 5.628.

Для уравнения высоты из точки А4(2;2;5) примем её координаты и нормальный вектор(-6; –11; -15) плоскости А1А2А3, который для высоты будет направляющим.

Получаем (x-2)/(-6)=(y-2)/(-11)=(z-5)/(-15).

5) кут між ребром А1А4 і гранню A1A2A3;

Вектор А1А4 = (-1; 1; 7), модуль √51.

Вектор плоскости (-6; -11; -15), модуль √382.

sin a = |-1*(-6)+1*(-11)+7*(-15)|/(√51*√382) = 110/139,5779 ≈ 0,788090.

Угол равен 0,90770 радиан или 52,00739 градуса.

6) рівняння прямої A1A2 і рівняння площини A1A2A3.

Для уравнения прямой А1А2 используем координаты точки А1(3;1;-2) и направляющий вектор А1А2 = (-2; -3; 3).

Уравнение А1А2:

(x – 3)/(-2) = (y – 1)/(-3) = (z + 2)/3.

Для плоскости A1A2A3 тоже используем точку А1(3;1;-2) и нормальный вектор n плоскости A1A2AА3 = (-6; – 11; – 15).

Для составления уравнения плоскости используем формулу: