Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченую линиями y=6-x²,y=5 и решить интеграл ∫² x²dx
0

Answer 1

1. Вычислим площадь фигуры, ограниченную линиями y = 6 - x², y = 5.

Пошаговое решение:

Построим график. Найдем пределы интеграла, для этого уравняем обе заданные линии:

6 - x² = 5

- x² = -6 + 5

- x² = -1

x² = 1

x = ±1

Нижний предел интеграла равен -1, а верхний равен 1.

Теперь посмотрим на наш график. В нем можно увидеть, что функция у = 6 - x² лежит выше линии у = 5. Поэтому от первого отнимаем вторую:

$S=\int\limits^1_{-1} {(6-x^{2} -5)} \, dx =\int\limits^1_{-1} {(1-x^{2} )} \, dx =(x-\frac{x^{2+1} }{2+1} )|^{1}_{-1} =(x-\frac{x^{3} }{3} )|^{1}_{-1} =$

$=1-\frac{1^{3} }{3} -(-1-\frac{(-1)^{3} }{3} )=\frac{3}{3} -\frac{1}{3} -(-\frac{3}{3} +\frac{1}{3} )=\frac{3-1}{3} -\frac{1-3}{3} =\frac{2}{3} +\frac{2}{3} =\frac{2+2}{3} =\frac{4}{3}$

Ответ: площадь фигуры равна 4/3 ед².

2. Решим определенный интеграл:

$\int\limits^2_0 {x^{2} } \, dx =\frac{x^{2+1} }{2+1} |^2_0 =\frac{x^{3} }{3} |^2_0 =\frac{2^{3} }{3} -\frac{0^{3} }{3} =\frac{8}{3} -0=\frac{8}{3}$