Question

Равносильны ли уравнения? Объясните почему

а) 2(x– 3) = 4 и 2x = 10;

б) x– 3 = 0 и x² + 1 = 0;

в) x – 3 = 0 и (x – 3)(x + 2) = 0;

г) 2x² + 3 = 0 и x + 7 = 0

Answer 1

А) Да

2(х-3)=4 и 2х=10

2х-6=4

2х=10 (!)

х=10:2

х=5

Б) нет

х-3=0

х²+1=0

х²=-1

х€∅

не имеет

действительных корней,

так как

х²≥0

В) нет

х-3=0

имеет один корень

х=3

(х-3)(х+2)=0

имеет 2 корня

х1=3 и х2=-2

Г) да

2х²+3=0

х²=-1,5

х€∅

не имеет

действительных корней,

так как

х²≥0

х²+7=0

х²=-7

х€∅

не имеет

действительных корней,

так как

х²≥0

Answer 2

Ответ:

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

$1)\ \ 2(x-3)=4\ \ \Rightarrow \ \ 2x-6=4\ \ ,\ \ 2x=10\ ,\ \boldsymbol{x=5}\\\\2x=10\ \ \Rightarrow \ \ x=10:2\ \ ,\ \ \boldsymbol{x=5}$  

Оба уравнения имеют один и тот же корень, х=5 , поэтому уравнения равносильны .

$2)\ \ x-3=0\ \ \Rightarrow \ \ ,\ \ \boldsymbol{x=3}\\\\x^2+1=0\ \ \ \Rightarrow \ \ x^2=-1 < 0\ \ ,\ \boldsymbol{x\in \varnothing }$  

Уравнения не равносильны .

$3)\ \ x-3=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{x=3}\\\\(x-3)(x+2)=0\ \ \Rightarrow \ \ x-3=0\ \ ili\ \ x+2=0\ \ ,\ \ \ \boldsymbol{x_1=3\ ,\ x_2=-2}$  

Уравнения не равносильны .

$4)\ \ 2x^2+3=0\ \ \Rightarrow \ \ 2x^2=-3 < 0\ \ ,\ \ \ \boldsymbol{x\in \varnothing }\\\\x+7=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{x=-7}$  

Уравнения не равносильны .