Question

Помогите пожалуйста решить​

Answer 1

Ответ:

Является метрикой

Объяснение:

Проверим аксиомы метрики:

1) Решим уравнение $|x-y|=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$.

Пусть $x=x_1+x_2i, y=y_1+y_2i; x_1,x_2,y_1,y_2\in \mathbb{R}$.

Тогда уравнение примет вид

$\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}=0\\ (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2=0\\ \left\{\begin{array}{c}x_1=y_1\\ x_2=y_2\end{array}\right.$

Т.е. уравнение $(1)$ имеет решение лишь при $x=y$. 1ая аксиома выполнена.

2) Очевидно, аксиома симметрии также выполнена:

$|x-y|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}=|y-x|$

3) Осталось проверить неравенство треугольника

$|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$

Для удобства обозначим $x-y=a, y-z=b\Rightarrow x-z=a+b$, и теперь рассмотрим тригонометрическую форму представления комплексных чисел:

$|a+b|\leq |a|+|b|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Заметим:

$|a+b|^2=|r_1\cdot(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)+r_2\cdot(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)|^2=\\ =(r_1\cdot\cos\phi_1+r_2\cdot\cos\phi_2)^2+(r_1\cdot\sin\phi_1+r_2\cdot\sin\phi_2)^2=\\ =r_1^2+r_2^2+2r_1r_2\cdot (\cos\phi_1\cos\phi_2+\sin\phi_1\sin\phi_2)=r_1^2+r_2^2+2r_1r_2\cdot \cos(\phi_1-\phi_2)\leq \\ \leq (r_1+r_2)^2$

Отсюда $|a+b|\leq r_1+r_2=|a|+|b|$ - не что иное, как проверяемое неравенство в форме (2).
А значит отображение является метрикой.