Question

Помогите пожалуйста решить​

Answer 1

Ответ:

Равномерно непрерывное, непрерывное, сжимающее и удовлетворяет условию Липшица.

Объяснение:

Пусть $x,y\in X=C[-3;3]$. Тогда

$||F(x)-F(y)||=\max\limits_{-3\leq t\leq 3}\left|\dfrac{4}{7}\sin\dfrac{t}{7}\cdot (x-y)\right|\leq \dfrac{4}{7}\sin\dfrac{3}{7}\cdot ||x-y||$.

Значит, если взять $\delta(\varepsilon)=\dfrac{7\varepsilon}{4\sin\frac{3}{7}}$, получим, что

$||x-y|| < \delta(\varepsilon)\Rightarrow ||F(x)-F(y)|| < \varepsilon$. А это означает, что отображение равномерно непрерывно (а значит и непрерывно).

Как было показано ранее,

$||F(x)-F(y)||\leq \dfrac{4}{7}\sin\dfrac{3}{7}\cdot ||x-y||$,

причем, очевидно, $0 < \dfrac{4}{7}\sin\dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{7} < 1$ , что означает, что отображение сжимающее и удовлетворяет условию Липшица.