В сосуд, содержащий воду массой mв = 200 г при температуре t1 = 10 ∘C, бросили кусок льда с вмерзшей в него железной деталью, имеющий суммарный объем V = 125 см3 и температуру t2 = 0 ∘C. После того как сосуду сообщили количество теплоты Q = 49.0 кДж, температура его содержимого оказалась равной t3 = 20 ∘C. Найдите массу детали mд. Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты можно пренебречь. Удельная теплоемкость воды cв = 4.2 Дж/(г⋅∘С), удельная теплота плавления льда λ = 334 Дж/г, плотность льда ρл = 0.9 г/см3, удельная теплоемкость железа
cж = 0.46 Дж/(г⋅∘С), плотность железа ρж = 7.8 г/см3.
Ответы
Дано:
mв = 200 г
t1 = 10 °C
V = 125 см³
t2 = 0 °C
Q = 49 кДж = 49*10³ Дж
t3 = 20 °C
cв = 4,2 Дж/(г* °С)
λ = 334 Дж/г
ρл = 0,9 г/см³
сж = 0,46 Дж/(г* °С)
ρж = 7,8 г/см³
mж - ?
Решение:
Теплота, которую сообщили, пошла на расплавление льда, нагрев воды, в которую превратился лёд, нагрев воды, которая уже была в сосуде, и нагрев детали. Уравнение теплового баланса будет таким:
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4, где:
Q1 - теплота на расплавку
Q2 - теплота на нагрев воды (бывший лёд)
Q3 - теплота на нагрев воды
Q4 - теплота на нагрев детали
Q1 = λ*mл
Q2 = cв*mв'*(t3 - t2), где mв' - масса воды (бывшего льда)
Q3 = cв*mв*(t3 - t1)
Q4 = cж*mж*(t3 - t2)
Массу льда (которая равна массе воды mв') выразим через суммарный объём следующим образом:
V = Vл + Vж = mл/ρл + mж/ρж
mл/ρл = V - mж/ρж
mл = mв' = ρл*(V - mж/ρж)
Тогда:
Q1 = λ*mл = Q1 = λ*ρл*(V - mж/ρж)
Q2 = cв*mв'*(t3 - t2) = cв*ρл*(V - mж/ρж)*(t3 - t2)
Подставляем всё в уравнение теплового баланса:
Q = λ*ρл*(V - mж/ρж) + cв*ρл*(V - mж/ρж)*(t3 - t2) + cв*mв*(t3 - t1) + cж*mж*(t3 - t2)
Раскрываем скобки, где содержится масса детали mж:
Q = λ*ρл*V - λ*ρл*mж/ρж + (cв*ρл*V - cв*ρл*mж/ρж)*(t3 - t2) + cв*mв*(t3 - t1) + cж*mж*(t3 - t2)
Q = λ*ρл*V - λ*ρл*mж/ρж + (cв*ρл*V - cв*ρл*mж/ρж + cж*mж)*(t3 - t2) + cв*mв*(t3 - t1)
Соберём все слагаемые, где содержится mж, слева:
(cв*ρл*V - cв*ρл*mж/ρж + cж*mж)*(t3 - t2) - λ*ρл*mж/ρж = Q - λ*ρл*V - cв*mв*(t3 - t1)
Умножим обе части уравнения на 1/(t3 - t2):
cв*ρл*V - cв*ρл*mж/ρж + cж*mж - (1/(t3 - t2))*λ*ρл*mж/ρж = 1/(t3 - t2) * (Q - λ*ρл*V - cв*mв*(t3 - t1))
Слева вынесем за скобки mж:
mж*(сж - св*ρл/ρж - λ*ρл/(ρж*(t3 - t2))) + cв*ρл*V = (Q - λ*ρл*V - cв*mв*(t3 - t1))/(t3 - t2)
Перенесём второе слагаемое из левой части уравнения в правую:
mж*(сж - св*ρл/ρж - λ*ρл/(ρж*(t3 - t2))) = (Q - λ*ρл*V - cв*mв*(t3 - t1))/(t3 - t2) - cв*ρл*V
И, наконец, выразим массу детали, поделив обе части уравнения на выражение в скобке слева:
mж = [ (Q - λ*ρл*V - cв*mв*(t3 - t1))/(t3 - t2) - cв*ρл*V ] / (сж - св*ρл/ρж - λ*ρл/(ρж*(t3 - t2))) =
= [ (49*10³ - 334*0,9*125 - 4,2*200*(20 - 10))/(20 - 0) - 4,2*0,9*125 ] / (0,46 - 4,2*0,9/7,8 - 334*0,9/(7,8*(20 - 0))) =
= [ (49000 - 334*0,9*125 - 4,2*200*20)/20 - 4,2*0,9*125 ] / (0,46 - 4,2*0,9/7,8 - 334*0,9/(7,8*20)) =
= 164,6137... = 164,6 г
Ответ: 164,6 г.