Question

помогите пожалуйста решить, очень нужно.
Нужно решить дифференциальное уравнение второго порядка y``+3y`= -2x

Answer 1

Ответ: $y=C_{1} e^{-3x} +C_{2} -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{9} x$, где С₁ и С₂ - const.

Пошаговое решение: для соответствующего однородного уравнения y'' + 3 y' = 0 составим характеристическое уравнение и найдем его общее решение:

$\lambda ^{2} +3\lambda =0$

$\lambda (\lambda +3)=0$

$\lambda _{1} =0$     $\lambda _{2} =-3$

$Y = C_{1} e^{-3x} +C_{2} e^{0*x} =C_{1} e^{-3x} +C_{2} e^{0} =C_{1} e^{-3x} +C_{2}$

Однородное уравнение имеет различные действительные корни, один из которых равен нулю. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде yₙ = Ax² + Bx.

Найдем первую и вторую производные:

$y_{n}' =(Ax^{2} + Bx)'=2Ax+ B$

$y_{n}'' =(y_{n} ')'=(2Ax+ B)'=2A$

Подставим их в соответствующие производные в изначальном уравнении:

$y'' + 3 y' = -2x$

$2A+3(2Ax+B)=-2x$

$2A+6Ax+3B=-2x$

$6Ax+2A+3B=-2x$

Составим систему уравнений и найдем А и В:

$\left \{ {{6A=-2} \atop {2A+3B=0}} \right.$

$A=-\frac{2}{6} =-\frac{1}{3}$

$2*(-\frac{1}{3})+3B=0$

$3B=\frac{2}{3}$     ⇒     $B=\frac{2}{3*3}=\frac{2}{9}$

Частное решение неоднородного уравнения примет вид

$y_{n} = -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{9} x$.

Общее решение неоднородного уравнения:

$y=Y+y_{n} =C_{1} e^{-3x} +C_{2} -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{9} x$, где С₁ и С₂ - const.