Question

Решите систему уравнений

Answer 1

Ответ:

$x=y=1$ , $x=y=-\dfrac{1}{2}$

Объяснение:

1ое уравнение преобразуем переносом 1 в левую часть к виду $(2xy-1)^2=5y^2-4x^2\;\;(1)$.

Во 2ом уравнении перенесем в левую часть $-y^2$, а в правую $2xy^2$, после чего приведем к виду $2x^2-y^2=y\cdot (2xy-1)\;\;(2)$.

Домножив обе части (2) на 2, а затем сложив правую часть с левой частью (1) и левую часть с правой частью (1) соответственно, получим

$(2xy-1)^2+2\cdot (2xy-1)\cdot y=3y^2\\ ((2xy-1)+y)^2=4y^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

Отсюда возможны 2 случая

1) $(2xy-1)+y=2y\Rightarrow 2xy-1=y$

Подставляя это в (1), получим

$y^2=5y^2-4x^2\Rightarrow y^2=x^2$

1.1) $x=y$

2ое уравнение примет вид $2x^2-2x^3=x^2-x\Rightarrow 2x^3-x^2-x=0\;\;\;\;\;(4)$

При $x=0=y$ получим подстановкой в 1ое уравнение 0=1 - значит это не решение.
Тогда (4) равносильно $2x^2-x-1=0\Rightarrow (x-1)(2x+1)=0$

Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что и $x=y=1$ , и $x=y=-\dfrac{1}{2}$ - решения.

1.2) $x=-y$

2ое уравнение примет вид $2x^2-2x^3=x^2+x\Rightarrow 2x^3-x^2+x=0\;\;\;\;\;(5)$

Из (1.1) $x\neq 0$, поэтому (5) эквивалентно $2x^2-x+1=0$

Дискриминант $D=1-8 < 0$ - а значит в этой ветке корней нет.

2) $(2xy-1)+y=-2y\Rightarrow (2xy-1)=-3y$

Подставляя это в (1), получим

$9y^2=5y^2-4x^2\Rightarrow y^2=-x^2$

В этом случае единственным решением (левая часть неотрицательна, правая неположительна) может быть лишь $x=y=0$  - но, как уже было показано, это не решение.