Question

Решить любое из этих тригонометрических уравнений

Answer 1

Решение.

2)  Решение простейших тригонометрических уравнений:

  $\bf ctgx=a\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=arcctga+\pi n\ ,\ n\in Z\ .$

$\displaystyle \bf ctg\Big(x-\frac{\pi }{9}\Big)=-\frac{\sqrt3}{3}\\\\x-\frac{\pi}{9}=arcctg\Big(-\frac{\sqrt3}{3}\Big)+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\x-\frac{\pi}{9}=-\frac{\pi}{3}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{9}-\frac{\pi}{3}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\\bf x=-\frac{2\pi }{3}+\pi n\ \ ,\ n\in Z$  

Ответ:  $\displaystyle \bf x=-\frac{2\pi }{3}+\pi n\ \ ,\ n\in Z$  .

$\bf 4)\ \ sin6x-sin2x=0$  

Формула синуса тройного угла:   $\bf sin3\alpha =3sin\alpha -4sin^3\alpha$  .

$\bf sin6x=sin(3\cdot 2x)=3sin2x-4sin^32x\\\\3sin2x-4sin^32x-sin2x=0\\\\4sin^32x-2sin2x=0\\\\sin2x\cdot (4sin^22x-2)=0\\\\a)\ \ sin2x=0\ \ ,\ \ 2x=\pi n\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi n}{2}\ \ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ 4sin^22x-2=0\ \ ,\ \ sin^22x=\dfrac{1}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \dfrac{1-cso4x}{2}=\dfrac{1}{2}\ \ ,\\\\1-cso4x=1\ \ ,\ \ cos4x=0\ \ ,\ \ 4x=\dfrac{\pi }{2}+\pi k\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{\pi k}{4}\ ,\ k\in Z$  

Ответ:   $\bf x=\dfrac{\pi n}{2}\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{\pi k}{4}\ ,\ n,k\in Z$  .  

3) Однородное уравнение .

$\bf sin^2x-11sinx\cdot cosx+10cos^2x=0\ \ \Big|:cos^2x\ne 0\\\\tg^2x-11tgx+10=0\ \ \to \ \ \ tgx=1\ ,\ tgx=10\ \ (teorema\ Vieta)\\\\a)\ \ tgx=1\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ tgx=10\ \ ,\ \ x=arctg10+\pi k\ \ ,\ k\in Z$  

Ответ:   $\bf x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ x=arctg10+\pi k\ \ ,\ n,k\in Z$