Question

lim(x стремится 0)  (cosx)^1/x^2

Answer 1

Неопределенность $1^{infty}$, следовательно, нужно применить второй замечательный предел $displaystyle lim_{x to 0}left(1+xright)^{frac{1}{x}}=e$

$displaystyle lim_{x to 0}(cos x)^{frac{1}{x^2}}=lim_{x to 0}(1+cos x-1)^{frac{1}{x^2}cdot frac{cos x-1}{cos x-1}}=e^{lim_{x to 0}frac{cos x-1}{x^2}}=\ \ =e^{lim_{x to 0}frac{(cos x-1)(cos x+1)}{x^2(cos x+1)}}=e^{lim_{x to 0}frac{-sin^2x}{2x^2}}=e^{-1/2}$

Answer 2

В решении использована непрерывность функции e^x на R и правило Лопиталя