Question

Дани координати точок A( -1,3,0), B(2,1, -1), C(3, -1,2), D(1, -1,3).

Знайти кут між векторами AB і AC. Знайти проекцію вектора AD на напрям вектора AC. Обчислити площу ABC. Обчислити об’єм піраміди ABCD.

Answer 1

Дани координати точок A( -1,3,0), B(2,1, -1), C(3, -1,2), D(1, -1,3).,

1) Знайти кут між векторами AB і AC.

Находим векторы:

АВ = (2-(-1); 1-3; -1-0) = (3; -2; -1), модуль равен √(9+4+1) = √14.

АС = (3-(-1); -1-3; 2-0) = (4; -4; 2), модуль равен √(16+16+4) = √36 = 6.

cos A = (3*4+(-2)*(-4)+(-1)*2)/((√14)*6) = 18/(6√14) = 3/√14 = 3√14/14.

A = arccos(3√14/14) =  0,64052 радиан или 36,69923 градуса.

2) Знайти проекцію вектора AD на напрям вектора AC.

A( -1,3,0), B(2,1, -1), C(3, -1,2), D(1, -1,3).

Находим вектор АD= (1-(-1); -1-3; 3-0) = (2; -4; 3).

Вектор АC = (4; -4; 2), его модуль равен 6.

Пр АD_ АC = (2*4+(-4)*(-4)+3*2)/ √51 = 30/6 = 5.

3) Обчислити площу ABC.

Площадь грани как треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов AB(3; -2; -1) и AC(4; -4; 2).

AB х AC =    

i            j           k |           i            j

3         -2         -1 |          3          -2

4         -4          2 |          4          -4  = -4i – 4j - 12k - 6j - 4i + 8k =

                                                     =  -8i – 10j – 4k.

S (ABC) = (1/2)√((-8)² + (-10)² + (-4)²) = (1/2)√(64 + 100 + 16) = (1/2)√180 ≈ 6,7082 кв. ед.

4) Обчислити об’єм піраміди ABCD.

Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (AB х AC)*AD.

Используем найденные значения:

(AB х AC) = -8i – 10j – 4k, AD(2; -4; 3)

(AB х AC) = -8      – 10     – 4

           АD = 2         -4         3

                  -16  +    40  + (-12) = 12.

V = (1/6)*12 = 2 куб. ед.