Question

6. Розв'яжіть трикутник АВС, якщо АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 9 см (кути знайдіть з точніс- тю до градусів).​

Answer 1

Ответ:

α = 51° , β = 96° , γ = 33°

Объяснение:

Дано:

∆АВС , АВ = 5 см , ВС = 7 см , АС = 9 см

Найти:

α , β , γ

Решение:

Известны 3 стороны , один из углов мы можем найти через теорему косинусов:

$\boldsymbol{a {}^{2} =b {}^{2} + c {}^{2} - 2bc \cos \alpha } \\ \ \boldsymbol{ \cos \alpha = \frac{b {}^{2} + c {}^{2} - a {}^{2} }{2bc} }$

Где α - угол между сторонами b и с.

Таким образом:

$BC {}^{2} = AB {}^{2} + AC {}^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \alpha \\ \\ \cos \alpha = \frac{5 {}^{2} + 9 {}^{2} - 7 {}^{2} }{2 \cdot5 \cdot9} = \frac{25 + 81 - 49}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30} \\ \\ \alpha = \arccos \left( \frac{19}{30} \right) = 51 {}^{ \circ}$

Второй из углов тоже найдем через теорему косинусов:

$\displaystyle AC {}^{2} = AB {}^{2} +BC {}^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \beta \\ \\ \cos \beta = \frac{5 {}^{2} + 7 {}^{2} - 9 {}^{2} }{2 \cdot5 \cdot7} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = - \frac{7}{70} = - \frac{1}{10} \\ \\ \beta = \arccos \left( - \frac{1}{10} \right) \Rightarrow \beta = 96 {}^{ \circ}$

Третий угол мы можем найти с учетом того , что сумма углов треугольника должно составить 180° , значит:

$\gamma = 180 {}^{ \circ} - \alpha - \beta = 180^{ \circ} - 51^{ \circ} - 96^{ \circ} = \\ = 33^{ \circ}$