Основою піраміди є квадрат зі стороною 4 см. Одне з бічних ребер піраміди дорівнює 3 см і перпендикулярне до площини основи. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
Ответы
Ответ:
Площадь полной поверхности пирамиды равна 48 см².
Объяснение:
Площадь полной поверхности пирамиды мы можем найти по следующей формуле:
*где - искомая площадь полной поверхности пирамиды,
- площадь основания фигуры,
- площадь боковой поверхности пирамиды.
Мы можем сразу же найти площадь основания. В основании нашей пирамиды лежит квадрат со стороной 4 см.
Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Она равна сумме площадей всех ее граней. В нашем случае:
Имеем ΔABS - прямоугольный (т.к. SB ⊥ (АВС)), ΔСBS - прямоугольный (т.к. SB ⊥ (АВС)), SB - общий катет, AB=BC (т.к. ABCD - квадрат), тогда ΔABS=ΔCBS по двум катетам.
По условию SB ⊥ (АВС), SC - наклонная, ВС - проекция наклонной на плоскость (АВС), DC⊥BC (т.к. основание - квадрат), тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, SC⊥DC.
Аналогично в ΔSAD: SB ⊥ (АВС), SA - наклонная, АВ - проекция наклонной на плоскость (АВС), AB⊥AD, поэтому, по теореме о трёх перпендикулярах, SA⊥DC.
Теперь мы имеем ΔSAD - прямоугольный (т.к. SA⊥DC), ΔSСD - прямоугольный (т.к. SC⊥DC), SD - общая гипотенуза, AD=DC (т.к. основание пирамиды - квадрат), поэтому ΔSAD=ΔSСD по гипотенузе и катету.
Учитывая все вышеуказанные равенства треугольников и равенство площадей равных треугольников, записываем следующую формулу нахождения боковой поверхности пирамиды:
Рассмотрим ΔABS - прямоугольный (∠В = 90°).
По теореме Пифагора AS²=AB²+BS², отсюда:
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по следующей формуле:
*где a и b - катеты треугольника.
Подставляем наши значения:
Рассмотрим ΔADS - прямоугольный (∠A = 90°).
Находим площадь этого треугольника по той же формуле.
Находим площадь боковой поверхности пирамиды:
Мы имеем площадь боковой поверхности пирамиды и площадь её основания, находим полную площадь пирамиды:
Площадь полной поверхности пирамиды равна 48 см².
![](https://st.uroker.com/files/6a0/6a03d0986772b491aa7942fc1481596c.png)