Question

Основою піраміди є квадрат зі стороною 4 см. Одне з бічних ребер піраміди дорівнює 3 см і перпендикулярне до площини основи. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.​

Answer 1

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна 48 см².

Объяснение:

Площадь полной поверхности пирамиды мы можем найти по следующей формуле:

$\displaystyle \bf S_{\Pi }=S_o+S_{\delta}$

*где $S_{\Pi}$ - искомая площадь полной поверхности пирамиды, $S_o$ - площадь основания фигуры, $S_{\delta}$ - площадь боковой поверхности пирамиды.

Мы можем сразу же найти площадь основания. В основании нашей пирамиды лежит квадрат со стороной 4 см.

$S_o=S_{ABCD} = a^2=4^2=16\ \text{cm}^2$

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Она равна сумме площадей всех ее граней. В нашем случае:

$S_{\delta} = S_{\triangle ABS} + S_{\triangle CBS} +S_{\triangle CDS} + S_{\triangle ADS}$

Имеем ΔABS - прямоугольный (т.к. SB ⊥ (АВС)), ΔСBS - прямоугольный (т.к. SB ⊥ (АВС)), SB - общий катет, AB=BC (т.к. ABCD - квадрат), тогда ΔABS=ΔCBS по двум катетам.

По условию SB ⊥ (АВС), SC - наклонная, ВС - проекция наклонной на плоскость (АВС), DC⊥BC (т.к. основание - квадрат), тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, SC⊥DC.

Аналогично в ΔSAD: SB ⊥ (АВС), SA - наклонная, АВ - проекция наклонной на плоскость (АВС), AB⊥AD, поэтому, по теореме о трёх перпендикулярах, SA⊥DC.

Теперь мы имеем ΔSAD - прямоугольный (т.к. SA⊥DC), ΔSСD - прямоугольный (т.к. SC⊥DC), SD - общая гипотенуза, AD=DC (т.к. основание пирамиды - квадрат), поэтому ΔSAD=ΔSСD по гипотенузе и катету.

Учитывая все вышеуказанные равенства треугольников и равенство площадей равных треугольников, записываем следующую формулу нахождения боковой поверхности пирамиды:

$S_{\delta} = 2S_{\triangle ABS} + 2S_{\triangle ADS}$

Рассмотрим ΔABS - прямоугольный (∠В = 90°).

По теореме Пифагора AS²=AB²+BS², отсюда:

$AS = \sqrt{AB^2+BS^2} = \sqrt{4^2+3^2 }= \sqrt{25}=5\ \text{cm}$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по следующей формуле:

$\bf \displaystyle S=\frac{1}{2} ab$

*где a и b - катеты треугольника.

Подставляем наши значения:

$\displaystyle S_{\triangle ABS} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot SB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3 =2\cdot3=6\ \text{cm}^2$

Рассмотрим ΔADS - прямоугольный (∠A = 90°).

Находим площадь этого треугольника по той же формуле.

$\displaystyle S_{\triangle ADS} = \frac{1}{2}\cdot AD\cdot AS=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=2\cdot5=10\ \text{cm}^2$

Находим площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{\delta} = 2S_{\triangle ABS} + 2S_{\triangle ADS} = 2 \cdot 6+2\cdot10 = 12+20=32\ \text{cm}^2$

Мы имеем площадь боковой поверхности пирамиды и площадь её основания, находим полную площадь пирамиды:

$\displaystyle S_{\Pi }=S_o+S_{\delta} = 16+32 = 48\ \text{cm}^2$

Площадь полной поверхности пирамиды равна 48 см².