Question

Интегралы. Помогите, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Неопределённый интеграл . Подведение под знак дифференциала . Можно решать с помощью замены, но писать дольше .

Дифференциал функции  $\bf y=f(x)$ равен   $\bf d\Big(f(x)\Big)=f'(x)\cdot dx$  .

$\displaystyle \bf 1)\ \ \int (1-2x)^4\, dx=-\frac{1}{2}\int (1-2x)^4\cdot d(1-2x)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-2x)^5}{5}+C\\\\\\2)\ \ \int \frac{1,5x^2-1}{\sqrt{1-2x+x^3}}\, dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(1-2x+x^3)}{\sqrt{1-2x+x^3}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-2x+x^3}+C\\\\\\3)\ \ \int \frac{dx}{sin^2(\frac{2\pi }{3}-x)}=-\int \frac{d(\frac{2\pi }{3}-x)}{sin^2(\frac{2\pi }{3}-x)}=ctg\Big(\frac{2\pi }{3}-x\Big)+C$

$\displaystyle \bf 4)\ \ \int x^2\cdot 5^{2x^3+3}\, dx=\frac{1}{6}\int 5^{2x^3+3}\, d(2x^3+3)=\frac{1}{6}\cdot \frac{5^{2x^3+3}}{ln5}+C\\\\\\5)\ \ \int \frac{e^{x}}{\sqrt{2e^{x}+3}}\, dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(2x^{x}+3)}{\sqrt{2e^{x}+3}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2e^{x}+3}+C=\sqrt{2e^{x}+3}+C\\\\\\6)\ \ \int \frac{\sqrt[3]{\bf ctg^2x}}{sin^2x}\, dx=-\int (ctgx)^{\frac{2}{3}}\cdot d(ctgx)=-\frac{(ctgx)^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}+C=\\\\\\=-\frac{3\sqrt[3]{\bf ctg^5x}}{5}+C$