Question

помогитееееееееее пожалуйста
интеграл (3х-4)sinxdx равен... ​

Answer 1

Ответ:

$\int\limits {(3x-4)sinx} \, dx =(4-3x)cosx+3sinx+C$

Пошаговое объяснение: запишем интеграл

$\int\limits {(3x-4)sinx} \, dx =(*)$

открываем скобки и получим разность двух интегралов, которая равна общему интегралу

$(*)=\int\limits {3xsinx} \, dx -\int\limits {4sinx} \, dx = (*)$

выводим коэффициенты перед интегралом. Второй интеграл по таблице дает минус косинус

$(*)=3\int\limits {xsinx} \, dx -4\int\limits {sinx} \, dx =3\int\limits {xsinx} \, dx -4*(-cosx) =$

$=3\int\limits {xsinx} \, dx +4cosx + C=(*)$

Второй интеграл интегрируем по частям. Для этого введем следующие обозначения:

$x=u$                     $dx=du$

$dv=sinxdx$          $v=-cosx$

и применим формулу:

$\int\limits {u} \, dv =uv-\int\limits {v} \, du$

Тогда наш интеграл примет вид

$=(*)=3(x*(-cosx)-\int\limits {-cosx} \, du )+4cosx + C=-3xcosx+3\int\limits {cosx} \, du +$

$+4cosx + C=-3xcosx+3sinx+4cosx + C=(4-3x)cosx+3sinx+C$.