Дано вершини тетраедра А(5,1,3), В(1,6,2),С(5,0,4),D(4,0,6). Скласти рівняння площини що проходить через ребро АВ паралельно РЕБРУ СD.
Ответы
Даны вершины тетраэдра А(5,1,3), В(1,6,2),С(5,0,4),D(4,0,6). Написать уравнение плоскости , проходящей через ребро АВ параллельно РЕБРУ СD.
Решение. Ах+Ву+Сz+1=0 равнение плоскости в каноническом виде.
Координаты вектора СD(-1 ;0 ; 2)
Координаты вектора , перпендикулярного к плоскости Ах+Ву+Сz+1=0, ектора n(А ; В; С).
Тк СД параллелен плоскости , то вектора n и CD перпендикулярны , и значит их скалярное произведение равно 0.
n*CD=-1А+0*В+2С или -А+2С=0, А=2С.
Точки А и В принадлежат искомой плоскости , значит их координаты удовлетворяют уравнению плоскости
А(5,1,3), 5А+В+3С+1=0 ,
В(1,6,2), 1А+6В+2С+1=0.
Получаем систему из 3-х уравнений
{ А=2С,
{5А+В+3С+1=0,
{1А+6В+2С+1=0. Решаем
{10С+В+3С+1=0,
{2С+6В+2С+1=0 . Или
{13С+В +1=0 |*6 ,
{4С+6В+1=0 . Получим
{78С+6В +6=0 ,
{4С+6В+1=0 .Вычтем 74С+5=0 , С=-5/74.
Тогда А=2*(-5/74)=-5/37.
Тогда 13*(-5/74)+В +1=0 , В=-9/74
Уравнение плоскости -5/37х-9/74у-5/74z+1+0 или
-10х-9у-5z+74=0 или 10х+9у+5z-74=0