Question

Дано вершини тетраедра А(5,1,3), В(1,6,2),С(5,0,4),D(4,0,6). Скласти рівняння площини що проходить через ребро АВ паралельно РЕБРУ СD. ​

Answer 1

Даны вершины тетраэдра А(5,1,3), В(1,6,2),С(5,0,4),D(4,0,6). Написать уравнение плоскости , проходящей через ребро АВ параллельно РЕБРУ СD.

Решение. Ах+Ву+Сz+1=0 равнение плоскости в каноническом виде.

Координаты вектора СD(-1 ;0 ; 2)

Координаты вектора , перпендикулярного к плоскости Ах+Ву+Сz+1=0, ектора n(А ; В; С).

Тк СД параллелен плоскости , то вектора n и CD перпендикулярны , и значит их скалярное произведение равно 0.

n*CD=-1А+0*В+2С или -А+2С=0, А=2С.

Точки А и В принадлежат искомой плоскости , значит их координаты удовлетворяют уравнению плоскости

А(5,1,3), 5А+В+3С+1=0 ,

В(1,6,2), 1А+6В+2С+1=0.

Получаем систему из 3-х уравнений

{ А=2С,

{5А+В+3С+1=0,

{1А+6В+2С+1=0. Решаем

{10С+В+3С+1=0,

{2С+6В+2С+1=0 . Или

{13С+В +1=0 |*6 ,

{4С+6В+1=0 . Получим

{78С+6В +6=0 ,

{4С+6В+1=0 .Вычтем 74С+5=0 , С=-5/74.

Тогда А=2*(-5/74)=-5/37.

Тогда 13*(-5/74)+В +1=0 , В=-9/74

Уравнение плоскости -5/37х-9/74у-5/74z+1+0 или

-10х-9у-5z+74=0 или 10х+9у+5z-74=0