............................
Ответы
Ну, раз просили красивое решение, приготовьтесь :) Кстати, чертеж в приложенном файле полностью соответствует условию.
Итак.
1. Ясно сразу, что точка K симметрична точке B относительно биссектрисы AL. Вообще вся фигура ABLK - симметричный относительно AL дельтоид. То есть LK = LB = 4;
2. Точка E, в которой биссектриса пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность, является центром окружности трезубца, которая проходит через точки B, C и I - центр вписанной окружности (если не знаете, могу отдельно объяснить про эту окружность). А в силу симметрии - заодно и через точку K.
3. Поскольку степень точки L равна (знак не важен) BL*LC = 4*5, а AL = CL = 5, то LE = 4 (на человеческом языке BL*CL = AL*LE, LE = 4, то есть получилось LE = LB = LK, но это не сильно приближает к решению).
4. Для более наглядного восприятия простых выкладок я обозначу CK = x; AK = AB = y; EI = EB = EC = ρ - радиус окружности трезубца.
Тогда AK*AC = AM*AI, (степень точки A относительно окружности трезубца), или, если переписать (с учетом AE = 9), y(x+y) = (9 - ρ)(9 + ρ);
5. С другой стороны, длина биссектрисы AL, заданная в задаче, может быть записана AL² = AB*AC - LB*LC; или 5² = y(x + y) - 4*5; (эту известную формулу можно и получить из чертежа, рассматривая подобие треугольников ABL и AEC).
6. Получилось 9² - ρ² = 5² + 4*5; ρ = 6; на самом деле решение задачи на этом заканчивается, дальше устный счет.
7. LI = EI - EL = 2; AI = 3; AB/BL = AI/IL; (понятно, почему? потому что BI - биссектриса угла B) => y/4 = 3/2; y = 6; (то есть AB = AK = 6)
аналогично AC/CL = AI/IL; => (x + 6)/5 = 3/2; x = 3/2;
Ответ CK = 3/2;
