Question

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
$(a+1)(b+1)(c+1) = 2abc$

Answer 1

Ответ:

27.

Объяснение:

Три неизвестных - это очень много. Постараемся свести задачу к двум неизвестным.

Уравнение можно записать в виде $\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)=2.$

Если одна из неизвестных равна 1, соответствующая ей скобка равна 2, а остальные больше 1, поэтому левая часть больше 2, и решений нет. Итак, среди  a, b, c нет 1.

Если все неизвестные больше или равны 4, левая часть меньше или равна  $\left(1+\dfrac{1}{4}\right)^3=\left(\dfrac{5}{4}\right)^3=\dfrac{125}{64} < 2,$  и решений снова нет.

Вывод: хотя бы одна из неизвестных равна 2 или 3.

1) Пусть (для определенности) a равна 2. Получаем уравнение

3(b+1)(c+1)=4bc; bc-3b-3c=3; (b-3)(c-3)=12. Итак, произведение двух целых чисел, больших минус 2, равно 12. Перечисляем возможные разложения: 12=1·12=2·6=3·4 (разложения на отрицательные множители нам не подходит из-за выписанных ограничений). Различать произведения типа 2·6 и 6·2 мы сейчас не будем - в силу симметричности входа всех неизвестных в уравнение, мы можем, найдя одно решение, получить серию решений, переставляя произвольным образом значения неизвестных.

Разложение 12=1·12 дает нам решение b=1+3=4; c=12+3=15.

Разложение 12=2·6 дает b=2+3=5; c=6+3=9.

Разложение 12=3·4 дает b=3+3=6; c=4+3=7.

2) Пусть a=3. Получаем уравнение

4(b+1)(c+1)=6bc; bc-2b-2c=2; (b-2)(c-2)=6; 6=1·6=2·3.

Разложение 6=1·6 дает b=1+2=3; c=6+2=8.

Разложение 6=2·3 дает b=2+2=4; c=3+2=5.

Мы получили тройки решений (2;4;15), (2;5;9), (2;6;7), (3; 3; 8), (3;4;5).

Первая, вторая, третья и пятая тройки, размножаясь (перестановкой чисел), дают (каждая) серию из 6 решений. Четвертая скобка (из-за того, что там два числа совпадают) дает серию из 3 решений. Всего получается 4·6+3=27 решений.