Ответы
Ответ:
27.
Объяснение:
Три неизвестных - это очень много. Постараемся свести задачу к двум неизвестным.
Уравнение можно записать в виде
Если одна из неизвестных равна 1, соответствующая ей скобка равна 2, а остальные больше 1, поэтому левая часть больше 2, и решений нет. Итак, среди a, b, c нет 1.
Если все неизвестные больше или равны 4, левая часть меньше или равна и решений снова нет.
Вывод: хотя бы одна из неизвестных равна 2 или 3.
1) Пусть (для определенности) a равна 2. Получаем уравнение
3(b+1)(c+1)=4bc; bc-3b-3c=3; (b-3)(c-3)=12. Итак, произведение двух целых чисел, больших минус 2, равно 12. Перечисляем возможные разложения: 12=1·12=2·6=3·4 (разложения на отрицательные множители нам не подходит из-за выписанных ограничений). Различать произведения типа 2·6 и 6·2 мы сейчас не будем - в силу симметричности входа всех неизвестных в уравнение, мы можем, найдя одно решение, получить серию решений, переставляя произвольным образом значения неизвестных.
Разложение 12=1·12 дает нам решение b=1+3=4; c=12+3=15.
Разложение 12=2·6 дает b=2+3=5; c=6+3=9.
Разложение 12=3·4 дает b=3+3=6; c=4+3=7.
2) Пусть a=3. Получаем уравнение
4(b+1)(c+1)=6bc; bc-2b-2c=2; (b-2)(c-2)=6; 6=1·6=2·3.
Разложение 6=1·6 дает b=1+2=3; c=6+2=8.
Разложение 6=2·3 дает b=2+2=4; c=3+2=5.
Мы получили тройки решений (2;4;15), (2;5;9), (2;6;7), (3; 3; 8), (3;4;5).
Первая, вторая, третья и пятая тройки, размножаясь (перестановкой чисел), дают (каждая) серию из 6 решений. Четвертая скобка (из-за того, что там два числа совпадают) дает серию из 3 решений. Всего получается 4·6+3=27 решений.